Chủ đề này có 6 trả lời

[Ronaldo]

Bài này hay, bạn nào giải được thì post lên hộ cái . Tôi chưa giải được bài này .

Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{x\to\infty}\dfrac{A(x)}{x}=c\in\mathbf{R^{+}}

Chứng minh rằng : http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{a_{i}<n}^{}\dfrac{1}{n-a_{i}}=+\infty

[lavieestunemerde]

Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_{n+1}-a_{i}}=+\infty

Với mọi , tồn tại N sao cho nếu n N thì (n- )c a_n (n+ )c.

vì thế n N
Vì thế lim inf của vế trái lim của vế phải.

Dùng tích phân tính được lim của vế trái là . Điều này đúng với mọi , và tiến đến khi tiến đến 0.

[Ronaldo]

Ta có .

Cái này là vì sao thế??

[lavieestunemerde]

ừ, nhầm , lim /n = 1/c (vì A( a_{n+1})=n) , nhưng không ảnh hưởng lắm đến lời giải (chỗ nào có c thì thay bẳng 1/c)

[leoteo]

Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_{n+1}-a_{i}}=+\infty

Phần này thì hơi tắt, phần sau thì lại hơi quá cẩn thận .

Câu hỏi: nếu mật độ c = 0 thì sao?

[lavieestunemerde]

Thì tất nhiên là không đúng rồi, chẳng hạn khi = 2^n

[leoteo]

Ko, tất nhiên là tớ ko hỏi vế đấy, vì đơn giản chỉ cần lấy dãy hữu hạn là thấy
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{a_{i}<n}^{}\dfrac{1}{n-a_{i}}<+\infty

Câu hỏi có ý nghĩa hơn ở đây là mật độ dương có phải là điều kiện cần hay ko? Hay nói cách khác là có tồn tại một dãy nguyên nào với mật độ 0 sao cho
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\limsup_{n\to\infty}\sum\limits_{a_{i}<n}^{}\dfrac{1}{n-a_{i}}=+\infty hay ko?