Bài này hay, bạn nào giải được thì post lên hộ cái . Tôi chưa giải được bài này .
Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{x\to\infty}\dfrac{A(x)}{x}=c\in\mathbf{R^{+}}
Chứng minh rằng : http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{a_{i}<n}^{}\dfrac{1}{n-a_{i}}=+\infty
1 bài toán của Paul Erdos
Bắt đầu bởi Ronaldo, 03-01-2006 - 20:15
#1
Đã gửi 03-01-2006 - 20:15
#2
Đã gửi 04-01-2006 - 04:38
Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_{n+1}-a_{i}}=+\infty
Với mọi , tồn tại N sao cho nếu n N thì (n- )c a_n (n+ )c.
vì thế n N
Vì thế lim inf của vế trái lim của vế phải.
Dùng tích phân tính được lim của vế trái là . Điều này đúng với mọi , và tiến đến khi tiến đến 0.
Với mọi , tồn tại N sao cho nếu n N thì (n- )c a_n (n+ )c.
vì thế n N
Vì thế lim inf của vế trái lim của vế phải.
Dùng tích phân tính được lim của vế trái là . Điều này đúng với mọi , và tiến đến khi tiến đến 0.
#3
Đã gửi 04-01-2006 - 13:43
Cái này là vì sao thế??Ta có .
#4
Đã gửi 05-01-2006 - 05:13
ừ, nhầm , lim /n = 1/c (vì A( a_{n+1})=n) , nhưng không ảnh hưởng lắm đến lời giải (chỗ nào có c thì thay bẳng 1/c)
#5
Đã gửi 05-01-2006 - 07:32
Phần này thì hơi tắt, phần sau thì lại hơi quá cẩn thận .
Câu hỏi: nếu mật độ c = 0 thì sao?
Trần trùng trục đi về không vướng víu
#6
Đã gửi 05-01-2006 - 08:03
Thì tất nhiên là không đúng rồi, chẳng hạn khi = 2^n
#7
Đã gửi 05-01-2006 - 08:16
Ko, tất nhiên là tớ ko hỏi vế đấy, vì đơn giản chỉ cần lấy dãy hữu hạn là thấy
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{a_{i}<n}^{}\dfrac{1}{n-a_{i}}<+\infty
Câu hỏi có ý nghĩa hơn ở đây là mật độ dương có phải là điều kiện cần hay ko? Hay nói cách khác là có tồn tại một dãy nguyên nào với mật độ 0 sao cho
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\limsup_{n\to\infty}\sum\limits_{a_{i}<n}^{}\dfrac{1}{n-a_{i}}=+\infty hay ko?
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{a_{i}<n}^{}\dfrac{1}{n-a_{i}}<+\infty
Câu hỏi có ý nghĩa hơn ở đây là mật độ dương có phải là điều kiện cần hay ko? Hay nói cách khác là có tồn tại một dãy nguyên nào với mật độ 0 sao cho
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\limsup_{n\to\infty}\sum\limits_{a_{i}<n}^{}\dfrac{1}{n-a_{i}}=+\infty hay ko?
Trần trùng trục đi về không vướng víu
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh