Chủ đề này có 2 trả lời

[lytiti]

$cho 3 so duong a,b,c .CMR : \frac{a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{9c}{a+b} >4$

[trauvang97]

$cho 3 so duong a,b,c .CMR : \frac{a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{9c}{a+b} >4$

 

Viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng:

 

    $\frac{a}{b+c}+1+\frac{4b}{c+a}+4+\frac{9c}{a+b}+9> 18$

 

$\Leftrightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{9}{a+b} \right )>18$

 

luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho bộ ba số: $\frac{1}{b+c},\frac{4}{c+a},\frac{9}{a+b}$

[25 minutes]

$cho 3 so duong a,b,c .CMR : \frac{a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{9c}{a+b} >4$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x\\b+c=y \\c+a=z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{x+z-y}{2}\\b=\frac{x+y-z}{2} \\c=\frac{y+z-x}{2} \end{matrix}\right.$

BĐT đã cho được viết lại thành

                        $\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}+\frac{\frac{4(x+y-z)}{2}}{z}+\frac{\frac{9(y+z-x)}{2}}{x}>4$

           $\Leftrightarrow \frac{x+z-y}{y}+\frac{4(x+y-z)}{z}+\frac{9(y+z-x)}{x}>8$

           $\Leftrightarrow \frac{x+z}{y}+\frac{4(x+y)}{z}+\frac{9(y+z)}{x}>8+1+4+9=22$

Nhưng bđt trên luôn đúng do AM-GM

                    $\frac{x}{y}+\frac{9y}{x} \geq 6$

                    $\frac{z}{y}+\frac{4y}{z} \geq 4$

                    $\frac{4x}{z}+\frac{9z}{x} \geq 12$

Cộng 3 bđt trên lại ta có đpcm

Đẳng thức không xảy ra