Chủ đề này có 1 trả lời

[pmtlm]

cho x,y$\epsilon \mathbb{Z}$/$\frac{1-x^{2}}{1+y}+\frac{1-y^{2}}{1+x}\epsilon \mathbb{Z}$

 

chứng minh:

 

1,$(x^{2}y^{2}-1)\vdots (x+1)$

2,$(x^{2}y^{2}-1)\vdots (y+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pmtlm: 12-06-2013 - 17:46

[BlackSelena]

cho x,y$\epsilon \mathbb{Z}$/$\frac{1-x^{2}}{1+y}+\frac{1-y^{2}}{1+x}\epsilon \mathbb{Z}$

 

chứng minh:

 

1,$(x^{2}y^{2}-1)\vdots (x+1)$

2,$(x^{2}y^{2}-1)\vdots (y+1)$

 

Đặt $x+1 = a ; y+1 = b$. Điều phải chứng minh tương đương

$(a-1)^2(b-1)^2 -1 \vdots a$

$\Leftrightarrow a(a-2)(b-1)^2 - (b-1)^2 - 1 \vdots a$

$\Leftrightarrow (b-1)^2 +1 \vdots a$

$\Leftrightarrow b^2 - 2b \vdots a$

Đặt $gcd(a,b) = d \Rightarrow a = dm, b =dn \ (m,n) + 1$
Vậy cần chứng minh $d^2n^2 - 2dn \vdots dm$

$\Leftrightarrow n(dn-2) \vdots m$

Mặt khác, từ giả thiết suy ra $\dfrac{m^2(dm-2)+n^2(dn-2)}{mn} \in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow m^2(dm-2) + n^2(dn-2) \vdots mn \vdots n$

$\Rightarrow m^2(dm-2) \vdots n$ Mà $(m,n) = 1$ nên $dm - 2 \vdots n$ vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 12-06-2013 - 22:35