16 replies to this topic

[Gemini Shin]

Câu 1:  $\frac{2013}{2014}+\sqrt{1+2013^{2}+\frac{2013^{2}}{2014^{2}}}$

 

Câu 2:  Cho phương trình: $2x^{2}+6x+m=0$  tìm m để pt luôn có 2 ngiệm phân biệt thỏa: $\frac{x_{_{1}}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{}}{x_{1}}\geqslant 2$

Câu 3:  Với x,y,z là các số dương thỏa: $(x^{2}+1)(y^{2}+4)(z^{2}+9)=48xyz$

Tính A = $\frac{x^{3}+y^{^{3}}+z^{^{3}}}{(x+y+z)^{3}}$

 

Câu 4: Tính: M = $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+.........+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

 

Câu 5: Giả sử phương trình: $x^{2}+mx+n+1=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt. Chứng minh $m^{2}+n^{2}$ là hợp số.

 

Câu 6: Với $m^{2}+4n^{2}< 4m+n$ . Cm trong 2 pt sau có ít nhất pt vô nghiệm: 

$x^{2}-2mx+n-1=0$ (1) và  $x^{2}-4nx+4m+1=0$ (2)

 

Câu 7: Cho$\Delta ABC$ vuông tại A. dg cao AH. trên AH lấy D; trên tia đối của tia HA lây E sao cho AD = HE. Đường vuông góc với AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh: BE vuông góc với EF

 

Câu 8: Cho $\Delta ABC$ cân tại A, (góc A nhọn). Vẽ đường cao AD. H là trực tâm. AH = 14cm, BH = HC = 30cm. Tính AD

 

Câu 9: Cho $\Delta ABC$ nhọ, đường cao AH. Từ A kẻ đường thẳng d vuông góc với AC. Từ B Vẽ d' song song với AC. M là giao của d và d'. Nối M với trung điểm I của AB, MI cắt AC tại N, BN cắt AH tại O. Chứng minh: CO vuông góc với AB

Edited by Gemini Shin, 13-06-2013 - 23:06.

[Juliel]

Câu 1:  $\frac{2013}{2014}+\sqrt{1+2013^{2}+\frac{2013^{2}}{2014^{2}}}$

 

Câu 1 : $2014^{2}=(2013+1)^{2}=2013^{2}+2.2013+1\Rightarrow 2013^{2}+1=2014^{2}-2.2013$

Thay vào biểu thức $\frac{2013}{2014}+\sqrt{2014^{2}-2.2013+\frac{2013^{2}}{2014^{2}}}=\frac{2013}{2014}+\sqrt{(2014-\frac{2013}{2014})^{2}}=\frac{2013}{2014}+(2014-\frac{2013}{2014})=2014$

[hoaadc08]

Câu 1 : Có thể tổng quát bài toán ?

[hoaadc08]

Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có :

$\frac{n}{{n + 1}} + \sqrt {1 + {n^2} + \frac{{{n^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}  = n + 1$

[Gemini Shin]

còn 5 câu nữa. ^^

[phatthemkem]

Câu 3:  Với x,y,z là các số dương thỏa: $(x^{2}+1)(y^{2}+4)(z^{2}+9)=48xyz$

Tính A = $\frac{x^{3}+y^{^{3}}+z^{^{3}}}{(x+y+z)^{3}}$

 

Sử dụng Cô-si, ta có

$\left\{\begin{matrix} x^2+1\geq 2x\\ y^2+4\geq 4y\\ z^2+9\geq 6z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x^{2}+1)(y^{2}+4)(z^{2}+9)\geq 48xyz$

Dấu bằng xảy ra khi $x=1,y=2,z=3$

Thay vào $A$ là xong.

[phatthemkem]

Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có :

$\frac{n}{{n + 1}} + \sqrt {1 + {n^2} + \frac{{{n^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}  = n + 1$

Ta có $\frac{n}{{n + 1}} + \sqrt {1 + {n^2} + \frac{{{n^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}=\frac{n}{{n + 1}} + \frac{\sqrt{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}}{n+1}$

$=\frac{n}{{n + 1}}+\frac{n^2+n+1}{n+1}=\frac{n^2+2n+1}{n+1}=n+1$

[Gemini Shin]

Sử dụng Cô-si, ta có

$\left\{\begin{matrix} x^2+1\geq 2x\\ y^2+4\geq 4y\\ z^2+9\geq 6z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x^{2}+1)(y^{2}+4)(z^{2}+9)\geq 48xyz$

Dấu bằng xảy ra khi $x=1,y=2,z=3$

Thay vào $A$ là xong.

ồ. câu này mình lại giải ko ra. đơn giản bất ngờ nhỉ. 

[phatthemkem]

 

Câu 5: Giả sử phương trình: $x^{2}+mx+n+1=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt. Chứng minh $m^{2}+n^{2}$ là hợp số.

 

ĐK $m^2-4n-4>0$

Theo Viét, ta có

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-m>0\\ x_{1}x_{2}=n+1>0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -(x_{1}+x_{2})=m\\ x_{1}x_{2}-1=n \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow m^2+n^2=(x_{1}+x_{2})^2+(x_{1}x_{2}-1)^2=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{1}^2x_{2}^2+1=(x_{1}^2+1)(x_{2}^2+1)$

Vậy $m^2+n^2$ là hợp số

[Gemini Shin]

ở câu 2, chỉ cần ta chứng minh dc $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}\geq 2$ luôn đúng thì chỉ cần điều kiện là $\Delta$ lớn hơn hoặc bằng 0 thôi. phải ko???

[Juliel]

ĐK $m^2-4n-4>0$

Theo Viét, ta có

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-m>0\\ x_{1}x_{2}=n+1>0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -(x_{1}+x_{2})=m\\ x_{1}x_{2}-1=n \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow m^2+n^2=(x_{1}+x_{2})^2+(x_{1}x_{2}-1)^2=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{1}^2x_{2}^2+1=(x_{1}^2+1)(x_{2}^2+1)$

Vậy $m^2+n^2$ là hợp số

Mình thắc mắc chỗ này ! Chỉ biết rằng $m^{2}+n^{2}=(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)$ nhưng chưa thể có $x_{1}^{2}+1;x_{2}^{2}+1$ là các số nguyên thì rõ ràng chưa thể suy ra nó là hợp số. Chẳng hạn $7=\frac{1}{7}.49$

Bạn có lẽ làm đúng rồi, chắc là đề bài thiếu điều kiện các nghiệm phải nguyên mà thôi

[phatthemkem]

Câu 4: Tính: M = $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+.........+\sqrt{1+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

 

Ta có nhận xét sau, với $a,b,c$ là những số hữu tỉ khác $0$ và $a=b+c$ thì $\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|$

Chứng minh Ta có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c})^2+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc})=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c})^2+2.\frac{b+c-a}{abc}=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c})^2$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|$

Áp dụng vào $M$ ta được $M=2013-\frac{1}{2013}$

[Gemini Shin]

Mình thắc mắc chỗ này ! Chỉ biết rằng $m^{2}+n^{2}=(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)$ nhưng chưa thể có $x_{1}^{2}+1;x_{2}^{2}+1$ là các số nguyên thì rõ ràng chưa thể suy ra nó là hợp số. Chẳng hạn $7=\frac{1}{7}.49$

Bạn có lẽ làm đúng rồi, chắc là đề bài thiếu điều kiện các nghiệm phải nguyên mà thôi

ko. đề bài đủ đấy.

[Juliel]

ko. đề bài đủ đấy.

Vậy thì mình chịu thua 

[phatthemkem]

Mình thắc mắc chỗ này ! Chỉ biết rằng $m^{2}+n^{2}=(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)$ nhưng chưa thể có $x_{1}^{2}+1;x_{2}^{2}+1$ là các số nguyên thì rõ ràng chưa thể suy ra nó là hợp số. Chẳng hạn $7=\frac{1}{7}.49$

Bạn có lẽ làm đúng rồi, chắc là đề bài thiếu điều kiện các nghiệm phải nguyên mà thôi

Bạn nói có lý đấy, chắc đây là do bạn Gemini Shin khi đăng đề có sai sót

Edited by phatthemkem, 13-06-2013 - 22:57.

[phatthemkem]

ko. đề bài đủ đấy.

Nếu như đề bài đủ thì nó đồng nghĩa với việc đề sai rồi đấy, học sinh làm bài này chắc được điểm tối đa hết.

[Gemini Shin]

Nếu như đề bài đủ thì nó đồng nghĩa với việc đề sai rồi đấy, học sinh làm bài này chắc được điểm tối đa hết.

đây ko phải là 1 đề hoàn chỉnh. mình chỉ tách câu ra thôi. về đề có sai hay ko, mình sẽ xem kĩ lại. hiện tại mình đang cầm trong tay đề như vậy nên chưa nói lên dc gì.