Chủ đề này có 22 trả lời

[pmtlm]

các bạn giải giúp mấy bài bất đẳng thức này,giúp hết sức nhé:

19,cho a,b,c>0/a+b+c=6

chứng minh$\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{a+c+4}{2+b}+\frac{a+b+c+3}{3+c}\geq 6$

20,Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,chứng minh:

 

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

21,cho x,y,z>0/x+y+z=1

chứng minh

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

22,cho a,b,c$\geq 0$và không có hai số nào cùng bằng 0

chứng minh:

 

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}}\geq 2$

 

23,cho a,b,c$\geq 0$và không có hai số nào cùng bằng 0

CMR:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

 

24,cho a,b,c$\epsilon$[1;2]

CMR:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$

25,cho x,y,z$> 0$$/x+y+z+xy+yz+xz=6$

CMR$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

26,cho x,y,z$\geq 0$ đôi một khác nhau thỏa mãn:$\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )= 1$

CMR :$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}\geq 4$

27,cho $a\geq b\geq c ; x\geq y\geq z$

cmr:

1,$ax+by\geq ay+bx$

2,$ax+by+cz\geq ay+bz+cx$

28,cho a,b,c thuộc [0;1]

 

chứng minh rằng:$a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq 1$

29,cho a,b,c>0 và a+b+c=3 

CMR:$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

 

                                                         THANKS GUYS!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pmtlm: 19-06-2013 - 18:57

[barcavodich]

Bài $28$

Do $a,b,c$ thuộc $[0,1]$ nên

$a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leq a+b+c-ab-bc-ca-1\leq a+b+c-ab-bc-ca-abc=(a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

QED.

Bài $19$ cộng mỗi phân số với $1$ 

BĐT $\Leftrightarrow (a+b+c+6)(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{c+3})\geq 9$

Hiển nhiên đúng 

QED.

[vutuanhien]

các bạn giải giúp mấy bài bất đẳng thức này,giúp hết sức nhé:

20,Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,chứng minh:

 

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

23,cho a,b,c$\geq 0$và không có hai số nào cùng bằng 0

CMR:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

 

                                                       THANKS GUYS!!!

Bài 20:Đặt $\left\{\begin{matrix} b & + & c-a &=x \\ c & + & a-b &=y \\ a & + & b-c &=z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a & = & \frac{y+z}{2}\\ b & = & \frac{z+x}{2}\\ c & = & \frac{x+y}{2} \end{matrix}\right.$

Thay vào biểu thức rồi nhóm lại, áp dụng BĐT AM-GM là ra 

Bài 23:Tư tưởng của bài này chính là dồn biến ra biên

WLOG, giả sử $c=min(a,b,c)$. Khi đó dễ dàng chứng minh được $a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2$ và $b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2$, $a^2+b^2\leq a^2+b^2+2c^2=x^2+y^2$ (với $x=a+\frac{c}{2}, y=b+\frac{c}{2}$

Ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq \frac{10}{(x+y)^2}$

BĐT này tương đương với $\frac{3(x^2+y^2)}{4x^2y^2}+(\frac{x^2+y^2}{4x^2y^2}+\frac{1}{x^2+y^2})\geq \frac{10}{(x+y)^2}$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $\frac{3(x^2+y^2)}{4x^2y^2}\geq \frac{6xy}{4x^2y^2}=\frac{6}{4xy}\geq \frac{6}{(x+y)^2}$

và $\frac{x^2+y^2}{4x^2y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq \frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}$

Cộng 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 14-06-2013 - 08:29

[25 minutes]

21,cho x,y,z>0/x+y+z=1

chứng minh

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

Áp dụng bất đẳng thức sau : 

               $\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+\sqrt{a_3^2+b_3^2} \geq \sqrt{(a_1+a_2+a_3)^2+(b_1+b_2+b_3)^2}$

Ta có $\sum \sqrt{z+xy}=\sum \sqrt{(\sqrt{z})^2+(\sqrt{xy})^2} \geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2+(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})^2}=\sqrt{(1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})^2}=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[vutuanhien]

các bạn giải giúp mấy bài bất đẳng thức này,giúp hết sức nhé:

24,cho a,b,c$\epsilon$[1;2]

CMR:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$

25,cho x,y,z$> 0$$/x+y+z+xy+yz+xz=6$

CMR$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

27,cho $a\geq b\geq c ; x\geq y\geq z$

cmr:

1,$ax+by\geq ay+bx$

2,$ax+by+cz\geq ay+bz+cx$

 

                                                         THANKS GUYS!!!

Bài 24:BĐT đã cho tương đương với $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\leq 7$. WLOG, giả sử $a\geq b\geq c$.  Khi đó $(a-b)(b-c)\geq 0\Leftrightarrow ab+bc\geq b^2+ac\Leftrightarrow \frac{a}{c}+1\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}$; $ab+bc\geq b^2+ac\Leftrightarrow \frac{c}{a}+1\geq \frac{c}{b}+\frac{b}{a}$

Suy ra $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\leq 2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$. Đặt $t=\frac{a}{c}$ thì $2\geq t\geq 1\Rightarrow (t-2)(t-1)\leq 0\Rightarrow t+\frac{1}{t}\leq \frac{5}{2}$

Từ đây ta có ngay đpcm

Bài 25 quá quen thuộc rồi

Bài 27 cả 2 BĐT thực chất chỉ là 1 trường hợp đặc biệt của Bất đẳng thức hoán vị. Do đó ta sẽ chứng minh BĐT hoán vị trong trường hợp tổng quát luôn

 

BĐT hoán vị:Giả sử $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1}, b_{2},...,b_{n}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều. Gọi $b_{i_{1}},...,b_{i_{n}}$ là 1 hoán vị của $b_{1},...,b_{n}$

Khi đó $a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{i_{1}}+...+a_{n}b_{i_{n}}$

Nếu $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1}, b_{2},...,b_{n}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều thì BĐT đổi chiều

Chứng minh:Sử dụng phép nhóm Abel, ta có BĐT đã cho tương đương với $a_{1}(b_{1}-b_{i_{1}})+a_{2}(b_{2}-b_{i_{2}})+...+a_{n}(b_{n}-b_{i_{n}})\geq 0\Leftrightarrow (a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{i_{1}})+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2}-b_{i_{1}}-b_{i_{2}})+...+a_{n}(b_{1}+b_{2}+...+b_{n}-b_{i_{1}}-b_{i_{2}}-...-b_{i_{n}})\geq 0$

(hiển nhiên đúng)

Trường hợp ngược lại, tức là 2 dãy đã cho là 2 dãy đơn điệu ngược chiều thì BĐT đổi chiều và chứng minh như trên

[25 minutes]

24,cho a,b,c$\epsilon$[1;2]

CMR:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$

25,cho x,y,z$> 0$$/x+y+z+xy+yz+xz=6$

CMR$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

24, Giả sử rằng $2 \geq a \geq b \geq c \geq 1$

BĐT $\LeftrightarrowP= \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \leq 7$

Ta có $(a-b)(b-c) \geq 0\Rightarrow ab+bc \geq b^2+ac\Rightarrow \frac{a}{c}+1 \geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$

Tương tự ta cũng có $\frac{c}{a}+1 \geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$

Do đó $P \leq 2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$

Ta chỉ cần chứng minh $2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) \leq 7\Leftrightarrow (\frac{a}{c}-2)(\frac{a}{c}-\frac{1}{2}) \leq 0$

Rõ ràng bđt trên luôn đúng do $a,c \in \left [ 1;2 \right ]$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,2,1)=(1,1,2)$ và các hoán vị

25, Áp dụng AM-GM ta có 

                 $\left\{\begin{matrix} 2(x^2+y^2+z^2 )\geq 2(xy+yz+xz)\\x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(x+y+z) \end{matrix}\right.$

Cộng 2 bđt trên lại, sử dụng $xy+yz+xz+x+y+z=6$, ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

[Juliel]

 

19,cho a,b,c>0/a+b+c=6

chứng minh$\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{a+c+4}{2+b}+\frac{a+b+c+3}{3+c}\geq 6$

 

Mấy bạn, anh chị chê bài này dễ quá hay sao mà chẳng ai thèm giải vậy ! 

$\frac{b+c+5}{1+a}=\frac{(b+c+a)+5-a}{1+a}=\frac{11-a}{1+a}=\frac{12-(1+a)}{1+a}=\frac{12}{1+a}-1$

Tương tự $\frac{a+c+4}{2+b}=\frac{12}{2+b}-1$

$\frac{a+b+3}{3+c}=\frac{12}{3+c}-1$

Suy ra $VP=12(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{3+c})-3\geq 12.\frac{9}{6+a+b+c}-3=6$              (đpcm)

[vutuanhien]

Mấy bạn, anh chị chê bài này dễ quá hay sao mà chẳng ai thèm giải vậy ! 

$\frac{b+c+5}{1+a}=\frac{(b+c+a)+5-a}{1+a}=\frac{11-a}{1+a}=\frac{12-(1+a)}{1+a}=\frac{12}{1+a}-1$

Tương tự $\frac{a+c+4}{2+b}=\frac{12}{2+b}-1$

$\frac{a+b+3}{3+c}=\frac{12}{3+c}-1$

Suy ra $VP=12(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{3+c})-3\geq 12.\frac{9}{6+a+b+c}-3=6$              (đpcm)

Bài này giải ở ngay đầu tiên rồi còn gì

[pmtlm]

còn bài 22 với 26 các bạn có ý tưởng j k.Mà sao các bạn giỏi bđt nhỉ,mình thì mù mờ về vấn đề này lắm

[vutuanhien]

còn bài 22 với 26 các bạn có ý tưởng j k.Mà sao các bạn giỏi bđt nhỉ,mình thì mù mờ về vấn đề này lắm

Bài 26 bạn có chắc là đúng đề bài không

[pmtlm]

Bài 26 bạn có chắc là đúng đề bài không

sorry nhe,minh nhầm đề

mà nhờ bạn giải giúp bài này với 

 

cho$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$

chứng minh rằng :

 

$\frac{15}{a^{2}(a+b+c)+1}+\frac{20}{b^{2}(a+b+c)+1}+\frac{12}{c^{2}(a+b+c)+1}\geq 11$

[vutuanhien]

sorry nhe,minh nhầm đề

mà nhờ bạn giải giúp bài này với 

 

cho$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$

chứng minh rằng :

 

$\frac{15}{a^{2}(a+b+c)+1}+\frac{20}{b^{2}(a+b+c)+1}+\frac{12}{c^{2}(a+b+c)+1}\geq 11$

Hình như nó phải là $\frac{1}{(x-y)^2}$ chứ sao lại là \frac{1}{(x+y)^2}$ 

[pmtlm]

Hình như nó phải là $\frac{1}{(x-y)^2}$ chứ sao lại là \frac{1}{(x+y)^2}$ 

uk, lại nhầm

[naruto10459]

đề bài 26 hình như là cho x,y,z không âm và (z+x)(z+y)=1,chứng minh $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}\geq 4$ phải ko?

[pmtlm]

đề bài 26 hình như là cho x,y,z không âm và (z+x)(z+y)=1,chứng minh $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}\geq 4$ phải ko?

mình vừa sửa lại đề,bạn xem lại nhé

[pmtlm]

có bạn nào lam dk bài 22 không,giúp vs

[ngocduy286]

 

22,cho a,b,c$\geq 0$và không có hai số nào cùng bằng 0

chứng minh:

 

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}}\geq 2$

 

 

Giả sử $ c$= Min{$a,b,c$} khi đó ta có:

$ b^2-bc+c^2=b^2-b(b-c)  \leq b^2$

$c^2-ca+a^2 \leq a^2$

Suy ra:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}}\geq \sqrt{ \frac{a^2}{b^2}} + \sqrt{ \frac{b^2}{a^2}} \geq 2$

dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(t,t,0), t>0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocduy286: 19-06-2013 - 20:03

[badboykmhd123456]

các bạn giải giúp mấy bài bất đẳng thức này,giúp hết sức nhé:

19,cho a,b,c>0/a+b+c=6

chứng minh$\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{a+c+4}{2+b}+\frac{a+b+c+3}{3+c}\geq 6$

20,Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,chứng minh:

 

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

21,cho x,y,z>0/x+y+z=1

chứng minh

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

22,cho a,b,c$\geq 0$và không có hai số nào cùng bằng 0

chứng minh:

 

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}}\geq 2$

 

23,cho a,b,c$\geq 0$và không có hai số nào cùng bằng 0

CMR:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

 

24,cho a,b,c$\epsilon$[1;2]

CMR:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$

25,cho x,y,z$> 0$$/x+y+z+xy+yz+xz=6$

CMR$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

26,cho x,y,z$\geq 0$ đôi một khác nhau thỏa mãn:$\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )= 1$

CMR :$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}\geq 4$

27,cho $a\geq b\geq c ; x\geq y\geq z$

cmr:

1,$ax+by\geq ay+bx$

2,$ax+by+cz\geq ay+bz+cx$

28,cho a,b,c thuộc [0;1]

 

chứng minh rằng:$a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq 1$

29,cho a,b,c>0 và a+b+c=3 

CMR:$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

 

                                                         THANKS GUYS!!!

hình như k ai xử bài cuối mk xử vậy

VT=$a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\geq 3-(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a})= 3-(\frac{ab+ac+bc}{2})$

Lại có $3(ab+ac+bc) \leq (a+b+c)^2 = 9 \Rightarrow ab+ac+bc \leq 3$

$\Rightarrow VT \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

vậy ta đk đpcm

[pmtlm]

 

Giả sử $ c$= Min{$a,b,c$} khi đó ta có:

$ b^2-bc+c^2=b^2-b(b-c)  \leq b^2$

$c^2-ca+a^2 \leq a^2$

Suy ra:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}}\geq \sqrt{ \frac{a^2}{b^2}} + \sqrt{ \frac{b^2}{a^2}} \geq 2$

dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(t,t,0), t>0$ và các hoán vị

 

hình như điều kiện dấu bằng của bạn xảy ra sai,với mọi t lớn hơn 0 hình như không bằng 2

[ngocduy286]

hình như điều kiện dấu bằng của bạn xảy ra sai,với mọi t lớn hơn 0 hình như không bằng 2

Bạn kiểm tra lại nhé, dấu bằng đó đúng rồi đây, nhớ là có 1 số bằng 0 còn 2 số còn lại bằng nhau và phải dương