Chủ đề này có 8 trả lời

[dark templar]

Bài toán:  Cho $a,b,c>0$ có tổng bằng 1.Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+24\sqrt[3]{abc} \ge 11$$

 

[binvippro]

bạn ơi bạn chép đề có đúng ko zậy

[dark templar]

bạn ơi bạn chép đề có đúng ko zậy

Thế nghĩa là bạn chứng minh được nó sai à ? 

[binvippro]

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac{c}{a}}=3$

cần chứng minh $24\sqrt[3]{abc}\geq 8$

$3\sqrt[3]{abc}\geq 1$

$3\sqrt[3]{abc}\geq a+b+c$

theo BDT cô si suy ra chỉ xảy ra trường hợp $3\sqrt[3]{abc}=a+b+c$

vậy A $\geq 11$

[binvippro]

bổ sung dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3

[dark templar]

$3\sqrt[3]{abc}\geq a+b+c$

Chỗ này bị ngược dấu,phải là $\le$.Đó mói đúng là BĐT AM-GM.

 

Mong bạn kiểm tra những lỗi cơ bản trong bài giải trước khi post bài.

[tranghieu95]

Bài toán:  Cho $a,b,c>0$ có tổng bằng 1.Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+24\sqrt[3]{abc} \ge 11$$

Ta có: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}}=\dfrac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự, ta đc: $\sum \dfrac{a}{b} \ge \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

Ta có: $24\sqrt[3]{abc} \ge \dfrac{8}{3}abc$

$\Rightarrow VT \ge \dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8}{3}abc$

Đặt: $\sqrt[3]{abc}=t, t \in (0;\dfrac{1}{3}$

Xét $f(t)=\dfrac{1}{t}+\dfrac{8}{3}t^3$ trên $(0; \dfrac{1}{3}$

Xét f'(t) và vẽ bảng biến thiên đc đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranghieu95: 15-06-2013 - 08:46

[binvippro]

Chỗ này bị ngược dấu,phải là $\le$.Đó mói đúng là BĐT AM-GM.

 

Mong bạn kiểm tra những lỗi cơ bản trong bài giải trước khi post bài.

thì mình nói là nó trái với BDT cô si nên chỉ xảy ra trường hợp = thôi

[dark templar]

Ta có: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}}=\dfrac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự, ta đc: $\sum \dfrac{a}{b} \ge \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

Ta có: $24\sqrt[3]{abc} \ge \dfrac{8}{3}abc$

$\Rightarrow VT \ge \dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8}{3}abc$

Đặt: $\sqrt[3]{abc}=t, t \in (0;\dfrac{1}{3}$

Xét $f(t)=\dfrac{1}{t}+\dfrac{8}{3}t^3$ trên $(0; \dfrac{1}{3}$

Xét f'(t) và vẽ bảng biến thiên đc đpcm.

Cách giải đúng rồi Anh đang suy nghĩ liệu khi ta thay $24$ bằng 1 hằng số $k$ thì liệu BĐT sẽ đúng với những giá trị nào của $k$ ?

 

thì mình nói là nó trái với BDT cô si nên chỉ xảy ra trường hợp = thôi

Đó là BĐT bạn suy ra,chứ không phải tương đương mà có. BĐT suy ra ngược dấu là chuyện bình thường vì bạn đã sử dụng 1 BĐT yếu để chứng minh 1 BĐT mạnh hơn.