Chủ đề này có 2 trả lời

[pmtlm]

nhờ mọi người giải giúp mấy bài pt nghiệm nguyên này:

 

1,$2^{2}+4x= 19-3y^{2}$

2,$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=y^{2}$

3,$x+y+z+4= 2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$

4,$9x-12\sqrt{x}-2\sqrt{7}y+y^{2}+11= 0$

[DarkBlood]

1,$2^{2}+4x= 19-3y^{2}$

Bài 1: Ta có:

$$2^2+4x=19-3y^2$$

$$\Leftrightarrow x=\dfrac{15-3y^2}{4}=\dfrac{16-4y^2+y^2-1}{4}=4-y^2+\dfrac{y^2-1}{4}$$

Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $y^2-1\ \vdots\ 4$ hay $y^2=4k+1$ $(k\in \mathbb{Z})$

 

Do đó $y=2m+1$ $(m\in \mathbb{Z})$ $($Vì nếu $y\ \vdots\ 2$ thì $y^2\ \vdots\ 4,$ vô lý$)$

 

Từ đó ta có: 

 

$$x=\dfrac{15-3(2m+1)^2}{4}=-3m^2-3m+3$$

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y)=(-3m^2-3m+3\ ;\ 2m+1)}\ \ \ \ \ \ \ \ (m\in \mathbb{Z})$$

 

2,$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=y^{2}$

Bài 2: Xét 2 trường hợp:

 

Trường hợp 1: $-2\leq x\leq 1$

 

Xét từng giá trị của $x$ ta được $(x\ ;\ y)=(-2\ ;\ 3)\ ;\ (1\ ;\ 3)$

 

Trường hợp 2: $x\leq -3$ hoặc $x\geq 2$

 

Dễ dàng chứng minh được $$(x^2+x)^2<x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=y^2<(x^2+x+1)^2$$

(Bằng biến đổi tương đương)

 

Mà $(x^2+x)^2$ và $(x^2+x+1)^2$ là hai số chính phương liên tiếp nên phương trình vô nghiệm.

 

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y)=(-2\ ;\ 3)\ ;\ (1\ ;\ 3)}$$

 

3,$x+y+z+4= 2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$

Bài 3: Ta có:

$$x+y+z+4= 2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-2}-1 \right )^2+\left ( \sqrt{y-3}-2 \right )^2+\left ( \sqrt{z-5}-3 \right )^2=0$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2}=1\\ \\ \sqrt{y-3}=2\\ \\ \sqrt{z-5}=3 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ \\ y=7\\ \\ z=14 \end{matrix}\right.$$

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y\ ;\ z)=(3\ ;\ 7\ ;\ 14)}$$

 

4,$9x-12\sqrt{x}-2\sqrt{7}y+y^{2}+11= 0$

Bài 4: (Không chắc lắm )

Ta có:

$$9x-12.\sqrt{x}-2\sqrt7y+y^2+11=0$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2=\left ( 12.\sqrt{x}+2\sqrt7y \right )^2$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2=144x+48y.\sqrt{7x}+28y^2$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2-144x+-28y^2=48y.\sqrt{7x}$$

Vì $\left (9x+y^2+11 \right )^2-144x+-28y^2\in \mathbb{Z}$ nên $48y.\sqrt{7x}\in \mathbb{Z}$ hay $\sqrt{7x}\in \mathbb{Z}$

 

Suy ra $7x$ là số chính phương $\Rightarrow x=7a^2$ $(a\in \mathbb{Z})$

 

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

$$63a^2-12a.\sqrt7-2y.\sqrt7+y^2+11=0$$

$$\Leftrightarrow 63a^2+y^2+11=\sqrt7\left (12a+2y \right )$$

Vì $63a^2+y^2+11\in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt7\left (12a+2y \right )\in \mathbb{Z}$

 

Mà $\sqrt7$ là số vô tỷ nên $12a+2y=0$ hay $63a^2+y^2+11=0$ $($Vô lý vì $63a^2+y^2+11\geq 11\ \forall\ a,\ y)$

 

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 14-06-2013 - 22:24

[pmtlm]

Bài 1: Ta có:

$$2^2+4x=19-3y^2$$

$$\Leftrightarrow x=\dfrac{15-3y^2}{4}=\dfrac{16-4y^2+y^2-1}{4}=4-y^2+\dfrac{y^2-1}{4}$$

Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $y^2-1\ \vdots\ 4$ hay $y^2=4k+1$ $(k\in \mathbb{Z})$

 

Do đó $y=2m+1$ $(m\in \mathbb{Z})$ $($Vì nếu $y\ \vdots\ 2$ thì $y^2\ \vdots\ 4,$ vô lý$)$

 

Từ đó ta có: 

 

$$x=\dfrac{15-3(2m+1)^2}{4}=-3m^2-3m+3$$

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y)=(-3m^2-3m+3\ ;\ 2m+1)}\ \ \ \ \ \ \ \ (m\in \mathbb{Z})$$

 

 

Bài 2: Xét 2 trường hợp:

 

Trường hợp 1: $-2\leq x\leq 1$

 

Xét từng giá trị của $x$ ta được $(x\ ;\ y)=(-2\ ;\ 3)\ ;\ (1\ ;\ 3)$

 

Trường hợp 2: $x\leq -3$ hoặc $x\geq 2$

 

Dễ dàng chứng minh được $$(x^2+x)^2<x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=y^2<(x^2+x+1)^2$$

(Bằng biến đổi tương đương)

 

Mà $(x^2+x)^2$ và $(x^2+x+1)^2$ là hai số chính phương liên tiếp nên phương trình vô nghiệm.

 

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y)=(-2\ ;\ 3)\ ;\ (1\ ;\ 3)}$$

 

 

Bài 3: Ta có:

$$x+y+z+4= 2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-2}-1 \right )^2+\left ( \sqrt{y-3}-2 \right )^2+\left ( \sqrt{z-5}-3 \right )^2=0$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2}=1\\ \\ \sqrt{y-3}=2\\ \\ \sqrt{z-5}=3 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ \\ y=7\\ \\ z=14 \end{matrix}\right.$$

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y\ ;\ z)=(3\ ;\ 7\ ;\ 14)}$$

 

 

Bài 4: (Không chắc lắm )

Ta có:

$$9x-12.\sqrt{x}-2\sqrt7y+y^2+11=0$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2=\left ( 12.\sqrt{x}+2\sqrt7y \right )^2$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2=144x+48y.\sqrt{7x}+28y^2$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2-144x+-28y^2=48y.\sqrt{7x}$$

Vì $\left (9x+y^2+11 \right )^2-144x+-28y^2\in \mathbb{Z}$ nên $48y.\sqrt{7x}\in \mathbb{Z}$ hay $\sqrt{7x}\in \mathbb{Z}$

 

Suy ra $7x$ là số chính phương $\Rightarrow x=7a^2$ $(a\in \mathbb{Z})$

 

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

$$63a^2-12a.\sqrt7-2y.\sqrt7+y^2+11=0$$

$$\Leftrightarrow 63a^2+y^2+11=\sqrt7\left (12a+2y \right )$$

Vì $63a^2+y^2+11\in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt7\left (12a+2y \right )\in \mathbb{Z}$

 

Mà $\sqrt7$ là số vô tỷ nên $12a+2y=0$ hay $63a^2+y^2+11=0$ $($Vô lý vì $63a^2+y^2+11\geq 11\ \forall\ a,\ y)$

 

Vậy phương trình vô nghiệm.

(bài 4)bài này nếu x,y $\epsilon \mathbb{R}$ thì x=1/9 và y=$-\sqrt{7}$ pải k bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pmtlm: 15-06-2013 - 10:28