Chủ đề này có 1 trả lời

[nhjm nhung]

Cho $a,b,c$ thoả mãn $0< a,b,c< 1$ và $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$

[trauvang97]

Cho $a,b,c$ thoả mãn $0< a,b,c< 1$ và $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{2}(1-2b)}{b}+\frac{b^{2}(1-2c)}{c}+\frac{c^{2}(1-2a)}{a}$

 

Ta có:   $\frac{a^{2}(1-2b)}{b}=\frac{a^{2}(1-2b)+b^{2}(1-2b)}{b}+2b^{2}-b$

 

Tương tự:  $\frac{b^{2}(1-2c)}{c}=\frac{b^{2}(1-2c)+c^{2}(1-2c)}{c}+2c^{2}-c$

 

                  $\frac{c^{2}(1-2a)}{a}=\frac{c^{2}(1-2a)+a^{2}(1-2a)}{a}+2a^{2}-a$

 

Do đó: 

$P=\frac{(a^{2}+b^{2})(1-2b)}{b}+\frac{(b^{2}+c^{2})(1-2c)}{c}+\frac{(c^{2}+a^{2})(1-2a)}{a}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a+b+c)$

 

$P\geq 2a(1-2b)+2b(1-2c)+2c(1-2a)+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a+b+c)$

 

$P\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)-4(ab+bc+ca)$

 

$P\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)-4$

 

Ta có:          $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)=2$  và $a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}=\sqrt{3}$

 

Do đó: $P\geq \sqrt{3}-2$ nên $minP=\sqrt{3}-2$, dấu bằng đạt khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$