Chủ đề này có 1 trả lời

[ocean99]

Câu 1 : Cho ba số a, b, c > $\frac{25}{4}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

Q=$\frac{a}{2\sqrt{b} -5 } + \frac{b}{2\sqrt{c} -5 } + \frac{c}{2\sqrt{a} -5 }$

 

[Oral1020]

Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:

$\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5 \ge 2\sqrt{a}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự

$\Longrightarrow LHS \ge 15$

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz,ta có:

$LHS \ge \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-15}$

Ta sẽ chứng minh:

$\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-15} \ge 15$.

Đặt $t=\sum \sqrt{a}$

$\Longrightarrow \dfrac{t^2}{2t-15} \ge 15$

$\Longleftrightarrow (t-15)^2 \ge 0$ (đúng)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=25$