Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Huy Tuyen]

Cho $a,b,c\geqslant 0$ và $a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh rằng :

$1\leqslant \frac{a}{\sqrt{1+bc}}+\frac{b}{\sqrt{1+ac}}+\frac{c}{\sqrt{1+ab}}\leqslant \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Tuyen: 18-06-2013 - 16:56

[babystudymaths]

Min trước,trước hết ta thấy $\sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}}= \sum \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a+abc}}$

Lại có : $a+abc\leq a+a\frac{b^{2}+c^{2}}{2}= a+a\frac{1-à^{2}}{2}= 1-\frac{(a-1)^{2}(a+2)}{2}\leq 1$,

$a^{6}+b^{6}+c^{6}\geq 1\Rightarrow \sum a\sqrt{a}\geq 1$ nên Min P=1,dấu = khi có 1 số =1,2 số =0

Max tí nữa mình viết tiếp,12h đêm rồi,ăn cơm đã

(câu trên là lấy của nthoangcuto,ý nghĩa của nó xin hỏi a ấy chứ đừng hỏi mình)

[trauvang97]

Cho $a,b,c\geqslant 0$ và $a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh rằng :

$1\leqslant \frac{a}{\sqrt{1+bc}}+\frac{b}{\sqrt{1+ac}}+\frac{c}{\sqrt{1+ab}}\leqslant \frac{3}{2}$

 

Trước hết ta chứng minh: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}}\geq 1$

 

Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

 

$\sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}}=\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{1+bc}}\geq \sum \frac{2a^{2}}{1+a^{2}+bc}\geq \frac{2(a+b+c)^{2}}{2+ab+bc+ca}$

 

$\geq \frac{2(a+b+c)^{2}}{2+4(ab+bc+ca)}=1$

 

Bây giờ ta sẽ chứng minh: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}}\leq \frac{3}{2}$

 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

 

                $\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}} \right )^{2}\leq \left (\sum a \right )\left ( \sum \frac{a}{1+bc} \right )$

 

Bây giờ ta sẽ chứng minh:

 

               $\sum \frac{a}{1+bc}\leq \sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}$

 

Thật vậy ta có:

 

$\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}-\sum \frac{a}{1+bc}=\sum \frac{a(b^{2}+c^{2}-ab-ac)}{(1+bc)(a+b)(a+c)}=\sum \left ( \frac{ca(c-a)}{(1+bc)(a+b)(a+c)}-\frac{ab(a-b)}{(1+bc)(a+b)(a+c)} \right )$

 

$=\sum \left ( \frac{ab(a-b)}{(1+ca)(b+c)(b+a)}-\frac{ab(a-b)}{(1+bc)(a+b)(a+c)} \right )=\sum \frac{ab(a-b)^{2}(a^{2}+b^{2})}{(1+ac)(1+bc)(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$

 

Do đó ta được: 

 

$\left ( \sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}} \right )^{2}\leq \left ( \sum a \right )\left ( \sum \frac{a}{(a+b)(a+c)} \right )=\frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{9}{4}$

 

Suy ra: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+bc}}\leq \frac{3}{2}$

 

Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra ở vế trái khi và chỉ khi $(a,b,c)=(1,0,0)$, đẳng thức xảy ra ở vế phải khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 22-06-2013 - 16:05