Chủ đề này có 2 trả lời

[zipienie]

Một dãy số $(a_n)$ được nhận từ dãy các số nguyên dương $\{1;2;3; …\}$ bằng cách xóa đi tất cả các bội số của $3$ hoặc $4$ nhưng không phải là bội của $5$. Tính giá trị của $a_{2009}$.

 

[hxthanh]

Một dãy số $(a_n)$ được nhận từ dãy các số nguyên dương $\{1;2;3; …\}$ bằng cách xóa đi tất cả các bội số của $3$ hoặc $4$ nhưng không phải là bội của $5$. Tính giá trị của $a_{2009}$.

Tập $\{3\}$ là các số nguyên dương không vượt quá $m$ là bội của $3$: $\left|\{3\}\right|=\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor$

Tập $\{4\}$ là các số nguyên dương không vượt quá $m$ là bội của $4$: $\left|\{4\}\right|=\left\lfloor\frac{m}{4}\right\rfloor$

Tập $\{5\}$ là các số nguyên dương không vượt quá $m$ là bội của $5$: $\left|\{5\}\right|=\left\lfloor\frac{m}{5}\right\rfloor$

Theo quy tắc cộng (bao gồm - loại trừ) ta có:

 

Số các số nguyên dương không vượt quá $m$ là bội của $3$ hoặc $4$ nhưng không là bội của $5$ là

 

$S_m=\left|\{3\}\right|+\left|\{4\}\right|-\left|\{3\}\cap\{4\}\right|-\left|\{3\}\cap\{5\}\right|-\left|\{4\}\cap\{5\}\right|+\left|\{3\}\cap\{4\}\cap\{5\}\right|$

${}\quad = \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{4}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{12}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{15}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{20}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{60}\right\rfloor$

 

Như vậy nếu $a_n=m$ thì ta có:

$m=n+\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{4}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{12}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{15}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{20}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{60}\right\rfloor$

 

Đặt $m=60k+r$ với $0\le r\le 59$ thì ta có:

$n=36k+r-\left\lfloor\frac{r}{3}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{r}{12}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{r}{15}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{r}{20}\right\rfloor$

 

Với $f( r )=r-\left\lfloor\frac{r}{3}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{r}{12}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{r}{15}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{r}{20}\right\rfloor$ ta lập bảng

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
r&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\
\hline
f( r )&0&1&2&2&2&3&3&4&4&4&5&6&6&7&8&9\\
\hline
\end{array}$

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
r&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27&28&29&30&31\\
\hline
f( r )&9&10&10&11&12&12&13&14&14&15&16&16&16&17&18&19\\
\hline
\end{array}$

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
r&32&33&34&35&36&37&38&39&40&41&42&43&44&45&46&47\\
\hline
f( r )&19&19&20&21&21&22&23&23&24&25&25&26&26&27&28&29\\
\hline
\end{array}$

 

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
r&48&49&50&51&52&53&54&55&56&57&58&59\\
\hline
f( r )&29&30&31&31&31&32&32&33&33&33&34&35\\
\hline
\end{array}$

 

Từ đây ta có $k=\left\lfloor\frac{n}{36}\right\rfloor$

Còn $f( r )=n-36k$

Căn cứ vào bảng $f( r )$ ta xác định được $r$

 

Ta gọi giá trị $r$ nhỏ nhất thỏa mãn $f( r )= n-36k$ là $f^{-1}( r )$ thì:

 

$\boxed{\displaystyle a_n=60\left\lfloor \frac{n}{36}\right\rfloor +f^{-1}\left(n-36\left\lfloor \frac{n}{36}\right\rfloor\right)}\quad (*)$

 

Với $n=2009$ thì $k=\left\lfloor\frac{2009}{36}\right\rfloor=55$

$f( r )=2009-36.55=29$ suy ra $f^{-1}(29)=47$

 

Vậy $a_{2009}=60.55+47=\boxed{3347}$

[hxthanh]

$\boxed{\displaystyle a_n=60\left\lfloor \frac{n}{36}\right\rfloor +f^{-1}\left(n-36\left\lfloor \frac{n}{36}\right\rfloor\right)}\quad (*)$

Lưu ý rằng từ $(*)$ nếu $n<36$ thì

$a_n=f^{-1}(n)$

Do đó ta lập bảng cho $36$ giá trị đầu tiên của dãy $\{a_n\}$ căn cứ theo bảng $f( r )$ (Quy ước $a_0=0$) thì ta có:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\
\hline
a_n&0&1&2&5&7&10&11&13&14&15&17&19&20&22&23&25&26&29\\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27&28&29&30&31&32&33&34&35\\
\hline
a_n&30&31&34&35&37&38&40&41&43&45&46&47&49&50&53&55&58&59\\
\hline
\end{array}$

 

Khi đó:

$$a_n=60\left\lfloor\frac{n}{36}\right\rfloor+a_{n-36\left\lfloor \frac{n}{36}\right\rfloor}$$