Chủ đề này có 4 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán :

Giả sử các đường tròn $m_{1},m_{2},m_{3}$ cùng tiếp xúc trong với đường tròn $m$ lần lượt tại $A_1,A_2,A_3$ và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. $B_1,B_2,B_3$ lần lượt là tiếp điểm của $m_{2}$ và $m_{3}$, của $m_{3}$ và $m_{1}$, của $m_1$ và $m_{2}$ theo thứ tự

Chứng minh rằng $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-06-2013 - 23:46

[maitienluat]

Gọi $O,O_{1},O_{2},O_{3},R,R_{1},R_{2},R_{3}$ lần lượt là tâm và bán kính của các đường tròn $m,m_{1},m_{2},m_{3}$ và $K$ là tâm tỉ cự của hệ điểm {$O,O_{1},O_{2},O_{3}$} hệ số {$\frac{-1} {R}, \frac{1} {R_{1}}, \frac{1} {R_{2}}, \frac{1} {R_{3}}$}.

Từ giả thiết suy ra $A_{1},O_{1},O$ thẳng hàng theo thứ tự đó nên

$-A_{1}O_{1}\vec {A_{1}O}+A_{1}O\vec {A_{1}O_{1}}=\vec {0}$

$\Rightarrow -R_{1}.\vec {A_{1}O}+R\vec {A_{1}O_{1}}= \vec {0}$

$\Rightarrow \frac {-1} {R} \vec {A_{1}O}+ \frac {1} {R_{1}} \vec {A_{1}O_{1}}= \vec {0}$ (1)

Tương tự từ $B_{1},O_{3},O_{2}$ thẳng hàng ta có $\frac {1} {R_{2}} \vec {B_{1}O_{2}} + \frac {1} {R_{3}} \vec {B_{1}O_{3}}= \vec {0}$ (2)

Từ (1), (2) và để ý rằng:

$\frac{-1}{R}\overrightarrow{KO}+\frac{1}{R_{1}}\overrightarrow{KO_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\overrightarrow{KO_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\overrightarrow{KO_{3}}=\overrightarrow{0}$

ta có $\frac{-1}{R}\overrightarrow{KA_{1}}+\frac{1}{R_{1}}\overrightarrow{KA_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\overrightarrow{KB_{1}}+\frac{1}{R_{3}}\overrightarrow{KB_{1}}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $K \in A_{1}B_{1}$. Tương tự $K \in A_{2}B_{2}$,$K \in A_{3}B_{3}$.

Vậy $A_{1}B_{1}, A_{2}B_{2}, A_{3}B_{3}$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 18-06-2013 - 15:00
Chỉnh Latex

[henry0905]

Mở rộng bài toán:

a) Chứng minh $O_{1}B_{1},O_{2}B_{2},O_{3}B_{3}$ đồng qui tại $I$.

b) Chứng minh $K,O,I$ thẳng hàng.

[maitienluat]

a) Ta có $\frac{B_{3}O_{1}}{B_{2}O_{1}}.\frac{B_{2}O_{1}}{B_{2}O_{3}}.\frac{B_{1}O_{3}}{B_{1}O_{2}}=1$

Nên theo định lý Ceva đảo, $O_{1}B_{1}, O_{2}B_{2}, O_{3}B_{3}$ đồng quy tại một điểm (là $I$).

b) Dễ kiểm tra rằng điểm $I$ trên là tâm tỉ cự của hệ {$O_{1},O_{2},O_{3}$} hệ số $\left ( \frac{1}{R_{1}},\frac{1}{R_{2}},\frac{1}{R_{3}} \right )$ với .

$\Rightarrow \left ( \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}} \right )\overrightarrow{KI}=\frac{1}{R_{1}}\overrightarrow {KO_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\overrightarrow {KO_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\overrightarrow {KO_{3}}$

Mặt khác theo cách chọn điểm $K$ thì

$\frac{1}{R}\overrightarrow {KO}=\frac{1}{R_{1}}\overrightarrow {KO_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\overrightarrow {KO_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\overrightarrow {KO_{3}}$

Suy ra $\overrightarrow {KO}=R\left ( \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}} \right )\overrightarrow {KI}$

Tức là $K,I,O$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 18-06-2013 - 19:18

[perfectstrong]

Bài toán :

Giả sử các đường tròn $m_{1},m_{2},m_{3}$ cùng tiếp xúc trong với đường tròn $m$ lần lượt tại $A_1,A_2,A_3$ và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. $B_1,B_2,B_3$ lần lượt là tiếp điểm của $m_{2}$ và $m_{3}$, của $m_{3}$ và $m_{1}$, của $m_1$ và $m_{2}$ theo thứ tự

Chứng minh rằng $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$ đồng quy.

http://diendantoanho...bảy-đường-tròn/

Xem nhận xét 2 để có thêm 1 cách chứng minh khác