Chủ đề này có 1 trả lời

[200dong]

Tìm max, min;

 

$y = \frac{a^4}{b^4}  + \frac{b^4}{a^4} - (\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2})  + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

 

[25 minutes]

 

Tìm max, min;

 

$y = \frac{a^4}{b^4}  + \frac{b^4}{a^4} - (\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2})  + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

 

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$, ta dễ dàng chứng minh được $y=t^4-5t^2+t+4=f(t)$

Do $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow t^2=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2 \geqslant 4\Rightarrow \left | t \right | \geqslant 2$

Ta xét 2 TH 

TH1: $t \geqslant 2$, tức là $a,b$ cùng dấu

   Ta có $f(t)=t^4-5t^2+t+4\Rightarrow f'(t)=4t^3-10t+1$

   $\Rightarrow f''(t)=12t^2-10>0$ do $t \geqslant 2$

   $\Rightarrow f'(t) \geqslant f'(2)=4.2^3-10.2+1=13 >0$

   $\Rightarrow f(t) \geqslant f(2)=2$

   Vậy GTNN của $y$ là $2$ tại $t=2$ hay $a=b, ab >0$

TH2: $t\leqslant -2$, tức là $a,b$ trái dấu

   Tương tự