Chủ đề này có 8 trả lời

[Phan Dung]

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6abc

CM: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3$

[Juliel]

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6abc

CM: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3$

Gỉa thiết đã cho tương đương :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6$

Ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\leq \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \sqrt{3(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})}$

Cộng từng vế hai BĐT trên, đặt $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=t>0$

$t+\sqrt{3t}\geq 6\Leftrightarrow \sqrt{t}\geq \sqrt{3}\Rightarrow t\geq 3\Rightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 3$

[ngocduy286]

Đặt: $x= \frac{1}{a}, y= \frac{1}{b}, z= \frac{1}{c} $ ta được:

$x+y+z+xy+yz+zx=6$

Ta cần chứng minh: $x^2+y^2+z^2 \geq 3$

Từ $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \geq 0$

suy ra $x^2+y^2+z^2 \geq 2(x+y+z) -3$ (1)

Ta có: $ 2(x^2+y^2+z^2 \geq 2(xy+yz+zx)$ (2)

cộng (1) và (2) ta được đpcm

[Ha Manh Huu]

câu này đề thi lớp 10 à dễ thôi

chia cả 2 vế của đk cho abc rồi

áp dụng cô si $\sum \frac{1}{a^{2}}+1\geq \sum \frac{2}{a}$

xong áp dụng bđt $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$

đến đây cống vế là ra

[lequanghung98]

Câu này đề thi vào 10 Hà Nội đây mà. Từ điều kiện chia 2 về cho $abc>0$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=6 \Leftrightarrow \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=12$$\Leftrightarrow \frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=12-\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$

Cộng vào hai vế với $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$, ta có:

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=9+(\frac{1}{a}-1)^{2}+(\frac{1}{b}-1)^{2}+(\frac{1}{c}-1)^{2} \Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 9$

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$(1^{2}+1^{2}+1^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 3$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.

[AnnieSally]

Từ giả thiết đã cho ta có:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$. Theo bất đẳng thức cauchy ta có:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\geq \frac{1}{ab},\frac{1}{2}(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq \frac{1}{bc},\frac{1}{2}(\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{a^{2}})\geq \frac{1}{ca}$

$\frac{1}{2}(\frac{1}{a^{2}}+1)\geq \frac{1}{a},\frac{1}{2}(\frac{1}{b^{2}}+1)\geq \frac{1}{b},\frac{1}{2}(\frac{1}{c^{2}}+1)\geq \frac{1}{c}$. Cộng vế theo vế ta có:

$\frac{3}{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})+\frac{3}{2}\geq 6\Leftrightarrow \frac{3}{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$$\Leftrightarrow (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 3$ (đpcm)

     

Đề thi Hà Nội năm nay phải không

[hocgiotto13031998]

đề thi tuyển sinh cấp 3 cua hà nội 

[phamphucat]

Câu này đề thi vào 10 Hà Nội đây mà. Từ điều kiện chia 2 về cho $abc>0$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=6 \Leftrightarrow \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=12$$\Leftrightarrow \frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=12-\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$

Cộng vào hai vế với $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$, ta có:

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=9+(\frac{1}{a}-1)^{2}+(\frac{1}{b}-1)^{2}+(\frac{1}{c}-1)^{2} \Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 9$

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$(1^{2}+1^{2}+1^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 3$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.

Chỗ này $12-\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$

quên dấu ngoặc mà cũng like nhiều ghê

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamphucat: 06-07-2013 - 15:01

[lequanghung98]

Câu này đề thi vào 10 Hà Nội đây mà. Từ điều kiện chia 2 về cho $abc>0$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=6 \Leftrightarrow \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=12$$\Leftrightarrow \frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=12-(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$)

Cộng vào hai vế với $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$, ta có:

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=9+(\frac{1}{a}-1)^{2}+(\frac{1}{b}-1)^{2}+(\frac{1}{c}-1)^{2} \Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 9$

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$(1^{2}+1^{2}+1^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 3$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.

 

Ừ thì sửa lại, bạn phamphucat comment góp ý được rồi, lại còn để ý vụ like làm gì (cái này thực sự tớ chẳng bao giờ để ý đến).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lequanghung98: 10-07-2013 - 10:40