Chủ đề này có 5 trả lời

[daotuansy]

Cho $x\geq (xy + 1)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = (3xy) / (x² + y² )$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 19-06-2013 - 17:48

[ngocduy286]

Cho $x\geq (xy + 1)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P =\frac{3xy}{x^2 + y^2} $

Ta đi chứng minh $ P \leq \frac{12}{17} $   (1)

Thật vậy 

$ (1) \Leftrightarrow \frac{3xy}{x^2+y^2}\leq \frac{12}{17} $

$ \Leftrightarrow  12x^2+12y^2-51xy \geq 0 $

$ \Leftrightarrow  12\left(y- \frac{1}{4}x^2 \right)^2 + \frac{45}{4}\left ( x-2 \right )^2 +45(x-xy-1) \geq 0 $   (luôn đúng)

Vậy $MaxP= \frac{12}{17}$ khi $x=2, y= \frac{1}{2}$

[badboykmhd123456]

Ta đi chứng minh $ P \leq \frac{12}{17} $   (1)

Thật vậy 

$ (1) \Leftrightarrow \frac{3xy}{x^2+y^2}\leq \frac{12}{17} $

$ \Leftrightarrow  12x^2+12y^2-51xy \geq 0 $

$ \Leftrightarrow  12\left(y- \frac{1}{4}x^2 \right)^2 + \frac{45}{4}\left ( x-2 \right )^2 +45(x-xy-1) \geq 0 $   (luôn đúng)

Vậy $MaxP= \frac{12}{17}$ khi $x=2, y= \frac{1}{2}$

cách khác nhỉ

Nếu $xy \leq 0 $ thì $P \leq 0$

Nếu $xy >0 $ thì $P>0$

Vậy ta chỉ xét $xy >0$ khi đó từ gt dễ có $x,y >0$

Từ gt $\Rightarrow y+\frac{1}{x} \leq 1$

Mà $y+\frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{y}{x}} \Rightarrow 2 \sqrt{\frac{y}{x}}\leq 1 \Leftrightarrow \frac{y}{x}\leq\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{x}{y} \geq 4$

$P=\frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$

Có $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}= \frac{x}{16y}+\frac{y}{x}+\frac{15x}{16y}\geq \2\sqrt{\frac{xy}{16xy}}+\frac{15}{16}.4=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow P \leq \frac{12}{17}$

$\Rightarrow max P=\frac{12}{17}  \Leftrightarrow  x=2;y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 19-06-2013 - 21:29

[daotuansy]

cách khác nhỉ

Nếu $xy \leq 0 $ thì $P \leq 0$

Nếu $xy >0 $ thì $P>0$

Vậy ta chỉ xét $xy >0$ khi đó từ gt dễ có $x,y >0$

Từ gt $\Rightarrow y+\frac{1}{x} \leq 1$

Mà $y+\frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{y}{x}} \Rightarrow 2 \sqrt{\frac{y}{x}}\leq 1 \Leftrightarrow \frac{y}{x}\leq\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{x}{y} \geq 4$

$P=\frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$

Có $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}= \frac{x}{16y}+\frac{y}{x}+\frac{15x}{16y}\geq \2\sqrt{\frac{xy}{16xy}}+\frac{15}{16}.4=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow P \leq \frac{12}{17}$

$\Rightarrow max P=\frac{12}{17}  \Leftrightarrow  x=2;y=\frac{1}{2}$

Tuấn Sỹ cảm ơn rất nhiều!

[daotuansy]

Cho (a;b) = 1. Chứng minh rằng (a²⁰¹³ + b²⁰¹³ ; ab) = 1.

[daotuansy]

Cho n so duong a₁, a₂, ...., a_n va a₁. a₂. .....a_n= 1.

Chung minh rang: (1+2011a₁)(1+2011a₂) .... (1+2011a_n) >= 2012ⁿ

(Toan THCS)