Chủ đề này có 1 trả lời

[Tungvansoan]

Cho các số thực dương x,y thỏa $x+y =2$.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt[4]{x^2 +6xy +y^2}}{x+y}\geq 2+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tungvansoan: 22-06-2013 - 20:25

[phanquockhanh]

Cho các số thực dương x,y thỏa $x+y =2$.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt[4]{x^2 +6xy +y^2}}{x+y}\geq 2+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ (1)

Giải:

(1) $\Leftrightarrow \left ( 1-\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right )+\left ( \frac{1}{\sqrt[4]{2x^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2y^2}}+\frac{\sqrt[4]{x^2+6xy+y^2}}{2} \right )$

$\geq 2 +\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

Mặt khác:

$\left ( 1 -\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right )\overset{AM-GM}{\geq }\left ( 1-\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right )\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}$

$\geq \left ( 1-\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right )\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}} =2 -\frac{2}{\sqrt[4]{2}}$ (2)

Lại có:

$\frac{1}{\sqrt[4]{2x^2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2y^2}}+\frac{\sqrt[4]{x^2+6xy+y^2}}{2}$

$\geq 3\sqrt[3]{ \frac{1}{\sqrt[4]{2x^2}}.\frac{1}{\sqrt[4]{2y^2}}.\frac{\sqrt[4]{x^2+6xy+y^2}}{2}}$

$= 3\sqrt[12]{\frac{x^2+6xy+y^2}{64(xy)^2}}\geq 3\sqrt[12]{\frac{8xy}{64(xy)^2}}=\frac{3}{\sqrt[18]{8xy}}\geq \frac{3}{\sqrt[12]{2(x+y)^2}}=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra:$Q.E.D$