Chủ đề này có 2 trả lời

[vankhanhpf96]

x, y, x > 0, CMR:

 

$$\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\leqslant \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$$

 

[SOYA264]

$$\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\leqslant \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$$

Ta có:

$\sum \frac{2\sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}\leq \sum \frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\sum \frac{1}{xy}$

Bây giờ chỉ cần đi chứng minh;

$\sum \frac{1}{xy}\leq \sum \frac{1}{x^{2}}$. Điều này hiển nhiên đúng, vì ta đã có BĐT quen thuộc: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Suy ra BDDT cần phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 23-06-2013 - 08:18

[ngocduy286]

$$\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\leqslant \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$$

$ \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{y^2} = \frac{x}{x^3} + \frac{1}{y^2} \geq \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x^3y^2}} \geq \dfrac{4\sqrt{x}}{x^3+y^2}$

Tương tự và cộng lại ta được đpcm