Chủ đề này có 3 trả lời

[vutung97]

1. Giải hpt:

\[{{x^4} - {x^3} + 3{x^2} - 4y - 1 = 0}\]

\[{\sqrt {\frac{{{x^2} + 4{y^2}}}{2}}  + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}}  = x + 2y}\]

2. CHo các số thực x,y thoả mãn \[{x^2} + {y^2} = 1\]

Timg GTLN và GTNN của 

\[M = \sqrt 3 xy + {y^2}\]

3. Với a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6abc

CM:

\[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutung97: 24-06-2013 - 10:29

[trauvang97]

1. Giải hpt:

\[{{x^4} - {x^3} + 3{x^2} - 4y - 1 = 0}\]

\[{\sqrt {\frac{{{x^2} + 4{y^2}}}{2}}  + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}}  = x + 2y}\]

2. CHo các số thực x,y thoả mãn \[{x^2} + {y^2} = 1\]

Timg GTLN và GTNN của 

\[M = \sqrt 3 xy + {y^2}\]

3. Với a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6abc

CM:

\[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]

 

Câu 1:

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có: $\sqrt{\frac{x^{2}+4y^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2(x^{2}+4y^{2})}}{2}\geq \frac{x+2y}{2}$

 

Mặt khác:  $x^{2}+2xy+4y^{2}=\frac{1}{4}(x-2y)^{2}+\frac{3}{4}(x+2y)^{2}$ $\geq \frac{3}{4}(x+2y)^{2}$

 

Do đó: $\sqrt{\frac{x^{2}+2xy+4y^{2}}{3}}\geq \frac{x+2y}{2}$

 

Cộng vế với hai bất đẳng thức trên ta có:

 

$\sqrt{\frac{x^{2}+4y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+2xy+4y^{2}}{3}}\geq x+2y$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=2y$

 

Thay $x=2y$ vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: $x^{4}-x^{3}+3x^{2}-2x-1=0$

 

Đến đây giải tiếp phương trình trên thu được nghiệm

 

Câu 3: Từ giả thiết suy ra: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6$

 

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ thì từ giả thiết có: $x+y+z+xy+yz+zx=6$ 

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)$

 

                                                           $(x^{2}+1)+(y^{2}+1)+(z^{2}+1)\geq 2(x+y+z)$

 

Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 25-06-2013 - 21:03

[ngocduy286]

2. CHo các số thực x,y thoả mãn \[{x^2} + {y^2} = 1\]

Timg GTLN và GTNN của 

\[M = \sqrt 3 xy + {y^2}\]

TH1:  

$y=0\Rightarrow x^2=1 \Rightarrow M=...$

TH2: $x \neq 0$ ta được 

$M=\dfrac{\sqrt{3}xy+y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{\sqrt{3}\dfrac{x}{y}+1}{\left ( \dfrac{x}{y} \right )^2+1}=\dfrac{\sqrt{3}t+1}{t^2+1}$

 

Nhân chéo đưa về phương trình bậc 2 với ẩn $t$ rồi tìm điều kiện để pt này có nghiệm ta sẽ được miền giá trị của $M$

kết hợp với TH1 và kết luận

[AnnieSally]

3.

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$. Theo bất đẳng thức cauchy ta có:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\geq \frac{1}{ab},\frac{1}{2}(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq \frac{1}{bc},\frac{1}{2}(\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{a^{2}})\geq \frac{1}{ca}$

$\frac{1}{2}(\frac{1}{a^{2}}+1)\geq \frac{1}{a},\frac{1}{2}(\frac{1}{b^{2}}+1)\geq \frac{1}{b},\frac{1}{2}(\frac{1}{c^{2}}+1)\geq \frac{1}{c}$. Cộng vế theo vế ta có:

$\frac{3}{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})+\frac{3}{2}\geq 6\Leftrightarrow \frac{3}{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$$\Leftrightarrow (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geq 3$ (đpcm)