1. Giải hpt:
\[{{x^4} - {x^3} + 3{x^2} - 4y - 1 = 0}\]
\[{\sqrt {\frac{{{x^2} + 4{y^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}{3}} = x + 2y}\]
2. CHo các số thực x,y thoả mãn \[{x^2} + {y^2} = 1\]
Timg GTLN và GTNN của
\[M = \sqrt 3 xy + {y^2}\]
3. Với a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6abc
CM:
\[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\]
Câu 1:
Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có: $\sqrt{\frac{x^{2}+4y^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2(x^{2}+4y^{2})}}{2}\geq \frac{x+2y}{2}$
Mặt khác: $x^{2}+2xy+4y^{2}=\frac{1}{4}(x-2y)^{2}+\frac{3}{4}(x+2y)^{2}$ $\geq \frac{3}{4}(x+2y)^{2}$
Do đó: $\sqrt{\frac{x^{2}+2xy+4y^{2}}{3}}\geq \frac{x+2y}{2}$
Cộng vế với hai bất đẳng thức trên ta có:
$\sqrt{\frac{x^{2}+4y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+2xy+4y^{2}}{3}}\geq x+2y$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=2y$
Thay $x=2y$ vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: $x^{4}-x^{3}+3x^{2}-2x-1=0$
Đến đây giải tiếp phương trình trên thu được nghiệm
Câu 3: Từ giả thiết suy ra: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6$
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ thì từ giả thiết có: $x+y+z+xy+yz+zx=6$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)$
$(x^{2}+1)+(y^{2}+1)+(z^{2}+1)\geq 2(x+y+z)$
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 25-06-2013 - 21:03