Chủ đề này có 3 trả lời

[Miranda]

Cho a, b, c dương

Chứng minh: $\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{b+c+3a}{3b+3c+2a}+\frac{c+a+3b}{3c+3a+2b}> \frac{15}{8}$

[25 minutes]

Cho a, b, c dương

Chứng minh: $\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{b+c+3a}{3b+3c+2a}+\frac{c+a+3b}{3c+3a+2b}> \frac{15}{8}$

Ta có $\sum \frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}=\sum \frac{(a+b+3c)^2}{(a+b+3c)(3a+3b+2c)}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

 $\sum \frac{(a+b+3c)^2}{(a+b+3c)(3a+3b+2c)}\geqslant \frac{\left [ 5(a+b+c) \right ]^2}{\sum (a+b+3c)(3a+3b+2c)}$

Đặt $a^2+b^2+c^2=x,ab+bc+ac=y\Rightarrow x \geqslant y$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{\left [ 5(a+b+c) \right ]^2}{\sum (a+b+3c)(3a+3b+2c)}=\frac{25(x+2y)}{12x+28y}\geqslant \frac{15}{8}$

         $\Leftrightarrow x\geqslant y$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do AM-GM

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

[airisuchan]

Đóng góp thêm 1 cách quen thuộc:

Đặt $\sum \frac{a + b + 3c}{3a + 3b + 2c} = A$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 3a + 3b + 2c = z\\ 3b + 3c + 2a = x\\ 3c + 3a + 2b = y\\ \end{matrix}\right.$ (x,y,z > 0)

$\Rightarrow 3(a + b + c) = \frac{3(x + y + z)}{8}$

$c = 3(a + b + c) - (3a + 3b + 2c) = \frac{3(x + y + z)}{8} - z = \frac{3x + 3y - 5z}{8}$

Tương tự với $a$ và $b$. Thay vào $A$ suy ra:

$A = \sum \frac{7x + 7y - 9z}{8z} = \sum (\frac{7x}{8z} + \frac{7y}{8z} - \frac{9}{8})$

Đến đây áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương suy ra đpcm.

[buiminhhieu]

Cho a, b, c dương

Chứng minh: $\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{b+c+3a}{3b+3c+2a}+\frac{c+a+3b}{3c+3a+2b}> \frac{15}{8}$

Ta có: $\sum (\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+2)=7.\sum (\frac{a+b+c}{3a+3b+2c})=\frac{7}{8}.((3a+3b+2c)+(3a+2b+3c)+(2a+3b+3c)).(\frac{1}{3a+3b+2c}+\frac{1}{3a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+3c})\geq \frac{7}{8}.9=\frac{63}{9}\Rightarrow$VẾ TRÁI$\geq \frac{63}{9}-6=\frac{15}{8}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$(đề thiếu dấu bằng à bạn)