Chủ đề này có 3 trả lời

[phanquockhanh]

Cho các số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn \[ab + ac + {b^2} = bc\] .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$P = {\left( {\frac{a}{{a - b}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{b - c}}} \right)^2}$

 

 

[trauvang97]

 

Cho các số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn \[ab + ac + {b^2} = bc\] .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$P = {\left( {\frac{a}{{a - b}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{b - c}}} \right)^2}$

 

 

Từ giả thiết ta có: $ab+b^{2}-bc-ca=-2ca\Leftrightarrow (b-c)(a+b)=-2ca\Leftrightarrow \frac{-a-b}{2a}=\frac{c}{b-c}$

 

Khi đó ta có:

 

$P=\left ( \frac{a}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{-a-b}{2a} \right )^{2}$

 

Đặt: $\frac{a-b}{a}=t$ thì $P=\frac{1}{t^{2}}+\left ( \frac{t}{2}-1 \right )^{2}$

 

Bài toán được đưa về 1 biến ....

[ngocduy286]

Từ giả thiết ta có: $ab+b^{2}-bc-ca=-2ca\Leftrightarrow (b-c)(a+b)=-2ca\Leftrightarrow \frac{-a-b}{2a}=\frac{c}{b-c}$

 

Khi đó ta có:

 

$P=\left ( \frac{a}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{-a-b}{2a} \right )^{2}$

 

Đặt: $\frac{a-b}{a}=t$ thì $P=\frac{1}{t^{2}}+\left ( \frac{t}{2}-1 \right )^{2}$

 

Bài toán được đưa về 1 biến ....

có nhiều cách đưa về 1 biến như của bạn, ví dụ như từ giả thiết ta chia cả 2 vế cho $ac$ rồi đặt .... nhưng làm thế nào để khảo sát được hàm một biến đó khi mà ta không giải được đạo hàm bằng không, bạn có thể làm rõ được không

[25 minutes]

có nhiều cách đưa về 1 biến như của bạn, ví dụ như từ giả thiết ta chia cả 2 vế cho $ac$ rồi đặt .... nhưng làm thế nào để khảo sát được hàm một biến đó khi mà ta không giải được đạo hàm bằng không, bạn có thể làm rõ được không

Cần gì đạo hàm, AM-GM bình thường thôi mà

Ta cần tìm MIn của $f(t)=\frac{1}{t^2}+(\frac{t}{2}-1)^2=\frac{1}{t^2}+\frac{t^2}{4}-t+\frac{1}{4}$

Áp dụng AM-GM ta có 

                         $\frac{1}{t^2}+\frac{kt^2}{4}\geqslant \sqrt{k}$

                         $\frac{(1-k)t^2}{4}+\frac{1}{1-k}\geqslant t$

Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta được $\frac{1}{t^2}+\frac{t^2}{4}+\frac{1}{1-k}\geqslant \sqrt{k}+t$

                   $\Rightarrow f(t)=\frac{1}{t^2}+\frac{t^2}{4}-t+\frac{1}{4}\geqslant \sqrt{k}-\frac{1}{1-k}+\frac{1}{4}$

Vậy $P \geqslant \sqrt{k}-\frac{1}{1-k}+\frac{1}{4}$

Trong đó $k$ thỏa mãn $0, $k,t$ là nghiệm của hệ phương trình sau

                  $\left\{\begin{matrix} kt^4=4\\(1-k)^2.t^2=4 \end{matrix}\right.$

       $\Rightarrow (1-k)^4=4k$

Giải phương trình trên ta tìm được $k$ và điểm rơi của $t$ luôn