$P = {\left( {\frac{a}{{a - b}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{b - c}}} \right)^2}$
#1
Đã gửi 24-06-2013 - 21:11
- kobietlamtoan và SOYA264 thích
#2
Đã gửi 27-06-2013 - 15:50
Cho các số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn \[ab + ac + {b^2} = bc\] .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P = {\left( {\frac{a}{{a - b}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{b - c}}} \right)^2}$
Từ giả thiết ta có: $ab+b^{2}-bc-ca=-2ca\Leftrightarrow (b-c)(a+b)=-2ca\Leftrightarrow \frac{-a-b}{2a}=\frac{c}{b-c}$
Khi đó ta có:
$P=\left ( \frac{a}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{-a-b}{2a} \right )^{2}$
Đặt: $\frac{a-b}{a}=t$ thì $P=\frac{1}{t^{2}}+\left ( \frac{t}{2}-1 \right )^{2}$
Bài toán được đưa về 1 biến ....
- kobietlamtoan, phanquockhanh và bachhammer thích
#3
Đã gửi 28-06-2013 - 07:19
Từ giả thiết ta có: $ab+b^{2}-bc-ca=-2ca\Leftrightarrow (b-c)(a+b)=-2ca\Leftrightarrow \frac{-a-b}{2a}=\frac{c}{b-c}$
Khi đó ta có:
$P=\left ( \frac{a}{a-b} \right )^{2}+\left ( \frac{-a-b}{2a} \right )^{2}$
Đặt: $\frac{a-b}{a}=t$ thì $P=\frac{1}{t^{2}}+\left ( \frac{t}{2}-1 \right )^{2}$
Bài toán được đưa về 1 biến ....
có nhiều cách đưa về 1 biến như của bạn, ví dụ như từ giả thiết ta chia cả 2 vế cho $ac$ rồi đặt .... nhưng làm thế nào để khảo sát được hàm một biến đó khi mà ta không giải được đạo hàm bằng không, bạn có thể làm rõ được không
#4
Đã gửi 28-06-2013 - 14:39
có nhiều cách đưa về 1 biến như của bạn, ví dụ như từ giả thiết ta chia cả 2 vế cho $ac$ rồi đặt .... nhưng làm thế nào để khảo sát được hàm một biến đó khi mà ta không giải được đạo hàm bằng không, bạn có thể làm rõ được không
Cần gì đạo hàm, AM-GM bình thường thôi mà
Ta cần tìm MIn của $f(t)=\frac{1}{t^2}+(\frac{t}{2}-1)^2=\frac{1}{t^2}+\frac{t^2}{4}-t+\frac{1}{4}$
Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{1}{t^2}+\frac{kt^2}{4}\geqslant \sqrt{k}$
$\frac{(1-k)t^2}{4}+\frac{1}{1-k}\geqslant t$
Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta được $\frac{1}{t^2}+\frac{t^2}{4}+\frac{1}{1-k}\geqslant \sqrt{k}+t$
$\Rightarrow f(t)=\frac{1}{t^2}+\frac{t^2}{4}-t+\frac{1}{4}\geqslant \sqrt{k}-\frac{1}{1-k}+\frac{1}{4}$
Vậy $P \geqslant \sqrt{k}-\frac{1}{1-k}+\frac{1}{4}$
Trong đó $k$ thỏa mãn $0, $k,t$ là nghiệm của hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix} kt^4=4\\(1-k)^2.t^2=4 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (1-k)^4=4k$
Giải phương trình trên ta tìm được $k$ và điểm rơi của $t$ luôn
- phanquockhanh yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh