ngocson52

11
Bây giờ rõ ràng là, nếu như chúng ta muốn đi xa hơn nữa, tôi phải đưa ra những ví dụ cụ thể của các định lý toán học "thực thụ", các định lý mà tất cả các nhà toán học sẽ đều phải thừa nhận là hạng nhất. Và ở đây tôi thấy khá khó khăn do sự hạn chế của những gì tôi đang viết. Về một mặt, các ví dụ của tôi phải rất đơn giản, và hiểu được với một người đọc thậm chí không hề có kiến thức chuyên môn về toán; không có một lời giải thích nào được yêu cầu trước; và một người đọc bất kỳ phải có thể theo dõi lời giải cũng như đề bài. Những điều kiện này đã loại bỏ rất nhiều những định lý đẹp nhất của lý thuyết số như định lý "hai số chính phương" của Fermat hay luật nghịch đảo tương hỗ của Gauss. Mặt khác, các ví dụ của tôi phải được đưa ra từ toán học "thực thụ", thứ toán học của những người làm toán chuyên nghiệp; và điều kiện này loại trừ những định lý tương đối khá dễ dàng và dễ hiểu nhưng liên quan đến logic và triết học.Tôi khó có thể làm gì tốt hơn là quay về với những người Hy Lạp. Tôi sẽ phát biểu và chứng minh hai định lý nổi tiếng của toán học Hy Lạp. Đó là các định lý "đơn giản", đơn giản ngay cả trong ý tưởng và cách lập luận, nhưng không hề có nghi ngờ nào rằng chúng là các định lý đẹp. Mỗi định lý đều còn mới mẻ và quan trọng như khi chúng mới được tìm ra - hai nghìn năm vẫn chưa viết nên một nếp nhăn nào trên chúng. Và cuối cùng, cả hai mệnh đề và lời giải đều có thể hiểu được trong vòng một giờ bởi bất kỳ một người đọc thông minh nào, bất kể trang bị toán học của anh ta có ít đến đâu.

I. Định lý đầu tiên là chứng minh của Euclid(*) về tồn tại vô hạn số nguyên tố.

Các số nguyên tố là các số
(A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
mà không thể viết thành tích của các thừa số (**) nhỏ hơn. Do đó 37 và 317 là nguyên tố. Số nguyên tố là nền tảng tạo thành tất cả các số bởi phép nhân: ví dụ 666 = 2.3.3.37. Mọi số không nguyên tố đều chia hết cho ít nhất một số nguyên tố (tất nhiên thường là nhiều hơn một). Chúng ta phải chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố, có nghĩa là dãy số (A) không bao giờ kết thúc.

Chúng ta hãy giả sử rằng (A) sẽ kết thúc, và
2, 3, 5, ..., P
là toàn bộ dãy số (do đó P là số nguyên tố lớn nhất); và ta, với giả thuyết này, hãy xem xét số Q xác định bởi công thức
Q = (2.3.5...P) + 1.

Đơn giản thấy rằng Q không chia hết cho 2, 3, 5, ..., P; bởi vì nó đều cho số dư là 1 khi chia cho bất cứ số nào trong dãy. Nhưng nếu nó không phải là nguyên tố, nó phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, và do vậy có một số nguyên tố (cũng có thể là chính Q) lớn hơn các số trong dãy. Điều này mâu thuẫn với giả sử của chúng ta rằng không có số nguyên tố nào lớn hơn P; và do vậy giả thuyết này là sai.

Chứng minh này dùng phương pháp phản chứng, một phương pháp mà Euclid rất thích và cũng là một trong những vũ khí đẹp nhất của toán học(***). Nó là một nước đi đẹp hơn nhiều so với bất cứ một nước cờ thí nào: một người chơi cờ có thể chịu hy sinh, thí một quân tốt hay một quân cờ, nhưng một nhà toán học thì thí cả ván cờ.

(*)Elements IX 20. Nguồn gốc thực sự của rất nhiều định lý trong cuốn Elements khá mù mịt, nhưng dường như không có lý do nào để cho rằng định lý này không phải của Euclid.
(**) Có những lý do kỹ thuật cho việc không tính 1 là một số nguyên tố.
(***) Lời giải có thể được sắp xếp sao cho không cần dùng đến phương pháp phản chứng, và các nhà logic học của một số trường phái thường thích như vậy.

Hiện nay, hàng tháng có khoảng 200.000 định lý được chứng minh trong 3.000 lĩnh vực khác nhau của toán học. Điều đó khiến cho người ta nghĩ rằng giấc mơ của các nhà toán học về một ngôn ngữ chung để tiếp cận với các con số bằng những công cụ hiện có xem ra khó có thể thực hiện được. Tuy nhiên, vào tháng giêng năm 1967, bằng trực giác tiên tài của mình, người toán học Canada Robert Langlands đã thấy trước phương cách để xây dựng một ngôn ngữ chung giữa số học, hình học, đại số và giải tích. Ông đã đề ra cả một chương trình thống nhất các tri thức trong những lĩnh vực này nhằm tạo ra một ngôn ngữ phổ quát của toán học.



Laurent Lafforgue vừa dọn tới phòng làm việc mới. Ông mới được bổ nhiệm giữ chức phụ trách bộ môn hình học đại số của Viện nghiên cức khoa học cao cấp (IHES) – một viện nghiên cứu toán học và vật lý toán nổi tiếng thế giới, đặt tại Bures-sur-Yvette, gần Paris. Đây cũng là một trong những cương vị có uy tín nhất trong thế giới toán học.

Nhà toán học trẻ người Pháp 33 tuổi này đã làm nên công trạng gì mà lại được hưởng một vinh dự cao quý như vậy? Theo lời ông Jean-Pierre Bourguignon, giám đốc Viện này và là người ký quyết định bổ nhiệm Lafforgue thì Laurent Lafforgue vừa mới chứng minh được trọn vẹn một phần trong chương trình của Langlands. Đây là một công trình tuyệt vời. Rất nhiều nhà toán học đã cho rằng công việc này phải mất mấy chục năm nữa mới có thể hoàn thành.

Vậy chương trình Langlands là gì? Ngoài một số hạn chế các nhà toán học ra, ít người được nghe nói về nó. Dự án bí ẩn này thực ra là nhằm đặt mối quan hệ giữa các đối tượng toán học phức tạp và trừu tượng nhất đã từng được tạo ra và những phương tiện cần thiết để chứng minh được điều đó cũng phức tạp không kém... Tuy nhiên, chương trình Langlands có một mục đích được phát biểu một cách đơn giản như sau: tạo ra những nhịp cầu nối giữa số học, hình học, đại số và giải tích, lập một cuốn ìtừ điển” giữa các ngôn ngữ toán học khác nhau.

Thực tế các nhà toán học không xem xét các sự vật theo cùng một cách và do vậy họ không nói cùng một ngôn ngữ. Nhà số học xét các con số, nhà hình học xét các hình dạng, nhà đại số xét các quan hệ còn nhà giải tích xét các biến thiên. Chương trinh Langlands hứa hẹn với họ rằng, cuối cùng, họ sẽ có thể giao lưu được với nhau. Nói một cách văn hoa thì cuối cùng trong tháp Babel toán học người ta rồi sẽ nói chỉ một ngôn ngữ - ngôn ngữ phổ quát, ngôn ngữ cho thấy bản chất sâu xa của các sự vật.

Đối tượng ban đầu của toán học là số nguyên 1, 2, 3… và số học, tức sự nghiên cứu những quan hệ giữa các số nguyên ấy, chính là ngôn ngữ nguyên thủy của chúng. “Chúa đã tạo ra các số nguyên và con người sáng chế ra những thứ còn lại” – đó là lời tổng kết ở thế kỷ trước của nhà toán học Đức Leopold Kronecker. Các phép tính được phép đối với các số nguyên chỉ là phép cộng, trừ, nhân và chia. Vốn từ vựng của số học cũng rất hạn chế, nhưng chúng cũng đủ để đặt ra những bài toán mà tới tận hôm nay cũng chưa ai giải được.

Một ví dụ về bài toán học số học kinh điển là nghiên cứu phương trình $x^2 + y^2 = z^2$. Liệu có tồn tại những số nguyê hay phân số thỏa mãn phương trình đó hay không? Nếu có, thì có bao nhiêu nghiệm? nhờ ít phép tính đơn giản, các nhà toán học cổ Hy Lạp đã tìm ra lời giải đúng: phương trình trên có nghiệm (ví dụ: $4^2 + 3^2 = 5^2$) và thậm chí còn có vô số nghiệm.

“Chúa đã tạo ra các số nguyên và con người sáng chế ra những thứ còn lại”
Leopold Kronecker (1823-1891) nhà toán học Đức

CÁC PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE
Từ Diophante ở thế kỷ IV tới Pierre Fermat ở thế kỷ XVII, những người say mê số học đã mở rộng dần câu hỏi trên cho tất cả các phương trình cùng loại (được gọi là các phương trình Diophante) bất kể bậc, số ẩn và các hệ số của chúng. Chẳng hạn, liệu người ta có tính được nghiệm của phương trình $3x^3 – 7x^2 + 23y^2 – 4z = w^2$ không? Thật không may, những phép tính số học ở đây trở nên rất phức tạp. Cả Diophante lẫn Fermat đều không có các phương tiện để tìm được câu trả lời tổng quát. Do vậy các phương trình Diophante – đối tượng cơ bản của số học – vẫn giữ kín những bí mật của chúng…

Tuy nhiên các nhà toán học vốn là những người ương bướng. Do ngôn ngữ số học không thể giải được bài toán này, họ bèn thử ìphiên dịch” nó sang một ngôn ngữ khác, ngôn ngữ hình học. Sự nghiên cứu các hình không gian chỉ thực sự tấn công các bài toán số học bắt đầu từ năm 1637, khi nhà toán học Pháp René Descartes đưa ra khái niệm hệ tọa độ không gian. Descartes muốn quy mọi bài toán về hình học. Ông biêu diễn các điểm trong một mặt phẳng bằng cặp hoành độ và tung độ $(x,y)$ của chúng. Như vậy, tập hợp nghiệm của một phương trình Diophante hai ẩn sẽ được biểu diễn bằng hình học bởi một đường cong. Ví dụ, phương trình $y = 2x + 1$ bây giờ trở thành một đường thẳng. Khi có ba ẩn số, đường cong sẽ trở thành một mặt. Và, nếu có bốn ẩn số hoặc nhiều hơn thì ta sẽ khó hình dung được tập hợp nghiệm, nhưng ngôn ngữ hình học vẫn còn giữ nguyên giá trị. Nhờ các tọa độ Descartes này mà bài toán số học bây giờ có thể được dịch thành bài toán hình học (và ngược lại). Và sự nghiên cứu các phương trình Diophante đã có những tiến bộ nhất định trong sự phiên dịch này: nếu số học là ngôn ngữ nguyên thủy của toán học thì hình học là ngôn ngữ tự nhiên nhất và trực giác nhất của nó.

Dẫu sao, sự ghép đôi giữa số học và hình học còn xa mới đạt tới mức hoàn hảo: ngôn ngữ hình học không cho phép phân biệt được những điểm có tọa độ nguyên và các điểm có tọa độ bất kỳ, vì vậy không cho phép mô tả một cách thuận lợi các phương trình Diophante.



Chính khi này các nhà vật lý đã vào cuộc. Trong suốt cuối thế kỷ XVII, nhà bác học Isaac Newton có một bài toán: đó là tìm cách hình thức hóa sự tiến triển của các hiện tượng vật lý, như quỹ đạo của một viên đạn hay sự rơi của một quả táo. Mục đích ở đây không phải là nghiên cứu các hình dạng mà là sự biến thiên. Tuy nhiên, các công cụ của hình học, là thước và compa, không thích hợp đối với vấn đề này.

Cùng với nhà toán học người Đức Wilhelm Leibniz, Newtonđã sử dụng các tọa độ Descartes để tạo ra một ngôn ngữ toán học mới: đó là giải tích. Bây giờ người ta không nói về các ẩn, các phương trình, các tọa độ và các đường cong nữa mà là nói về các biến và các hàm. Đạo hàm, tích phân, các phép tính giới hạn và nghiên cứu về tính liên tục, tức toàn bộ kho công cụ của giải tích đã được xây dựng. Tuy nhiên, nếu giải tích đã trở thành một trong số những ngôn ngữ mạnh nhất của toán học thì vốn từ vựng của nó cũng vẫn chưa cho phép diễn đạt một cách thuận tiện các tính chất của phương trình Diophante.

MỘT LÝ THUYẾT CÓ TÍNH CÁCH MẠNG
Phải đợi tới ngày 30 tháng 5 năm 1832, bài toán cổ nói trên mới có bước tiến đáng kể. Trước hôm đấu súng, biết chắc mình sẽ chết, trong bức thư tuyệt mệnh của mình, Evarist Galois, lúc đó mới 20 tuổi, đã vội vã ghi lại một lý thuyết có tính chất cách mạng về các phương trình Diophante.

Galois cho rằng không nên phí thời gian đi tính nghiệm của các phương trình đó, mà hay hơn là nên tập trung nghiên cứu các quan hệ tồn tại giữa các nghiệm khác nhau của chúng. Những nghiệm này (sẽ trở nên vô ích để tìm kiếm) tạo thành một tập hợp có tên là ìbiểu diễn Galois” của phương trình. Nhà toán học trẻ đã chứng minh được rằng chỉ cần biết cấu trúc của tập hợp đó là ta biết được các tính chất của phương trình xuất phát. Galois cũng là người đã phát minh ra phương pháp dịch hai ngôn ngữ cũ là số học và hình học sang ngôn ngữ đại số - ngôn ngữ nghiên cứu những quan hệ giữa các phần tử khác nhau cùng cùng một tập hợp. Phải sau khi ông mất nhiều thập niên người ta mới bắt đầu hiểu được tầm quan trọng công trình của ông, nhưng theo Laurent Lafforgue thì “phát minh của Galois, có lẽ, là phát minh thiên tài nhất của mọi thời đại… ngày hôm nay nó vẫn còn là trung tâm của số học và toàn bộ toán học nói chung”.
Galois mới chỉ áp dụng phương pháp dịch có tính cách mạng của mình cho một trường hợp tương đối đơn giản, đó là phương trình Diophante một ẩn (có dạng $a_nx^n + a_{n-1}x^(n-1) + … + a_1x + a_0 = 0$, với $a_n … a_0$ là các số nguyên); phương trình loại này chỉ có hữu hạn nghiệm và biểu diễn Galois của nó là một tập hợ có hữu hạn phần tử. Người ta có thể biết được cấu trúc của tập hợp hữu hạn này không mấy khó khăn. Lý thuyết Galois cũng cho phép chứng minh một cách rất đơn giản rằng các phương trình nói trên có bậc lớn hơn 4 nói chung không thể biểu diễn qua các số nguyên, phân số và căn thức.

Thật tiếc là phương pháp dịch có hiệu quả này lại không thể dùng được cho các phương trình có nhiều ẩn số. Lúc này tập hợp nghiệm không còn là tập hợp rời rạc của những con số đơn độc nữa mà là một tập hợp liên tục như một đường cong hoặc một mặt. Các nhà toán học đã phải mất một thời gian rất lâu để tìm cách định nghĩa biểu diễn Galois gắn liền với các đối tượng số học và hình học đó. Trong hơn một thể kỷ chưa có ai định nghĩa được đúng biểu diễn này, đây là các đối tượng đại số tinh tế ẩn chứa những tính chất số học của các phương trình Diophante.

MỘT CUỐN TỪ ĐIỀN HOÀN CHỈNH
Người Pháp ở thế kỷ XX đã đương đầu với công việc này. André Weil đã chỉ ra các phương hướng nghiên cứu lớn, Jean-Pierre Serre đã nhận được một số kết quả, nhưng Alexandre Grothendieck mới là người làm phần lớn công việc. Trong một công trình vĩ đại được thực hiện trong thời gian từ 1958 đên 1970, nhà toán học người Pháp gốc Đức này (cũng làm việc ở IHES) chỉ một mình đã tổng quát hóa thành công lý thuyết của Galois. Ông đã định nghĩa đúng biểu diễn Galois gắn liền với bất cứ một phương trình (hay hệ phương trình) Diophante nào và do đó đã lập được một cuốn từ điển hoàn chỉnh cho phép dịch một bài toán số - hình học thành một bài toán thuần túy đại số. ìVào thời đó, phòng làm việc của Grothendieck là trung tâm của thế giới toán học” – Laurent Lafforgue kể lại một cách thán phục.

Tuy vậy, cuốn từ điển này chỉ tra được một chiều, từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số. Nó cho phép thay việc nghiên cứu một phương trình Diophante bằng nghiên cứu biểu diễn Galois của nó. Nhưng điều này tiến bộ hơn ở chỗ nào? Biết đâu sự dịch này chẳng qua chỉ làm chuyển đổi bài toán mà thôi. Hơn nữa, làm thế nào nghiên cứu được cấu trúc của tập hợp đại số mới này, nơi che giấu những bí mật của phương trình?

Từ khi ra đời công trình nền tảng của Galois, câu hỏi này luôn luôn dày vò đầu óc tất cả các nhà toán học trên thế giới. Phải cần cả trăm năm để cho một lời giải táo bạo, lạ lùng và mẫu mực xuất hiện: để biết cấu trúc của một đối tượng đại số cần phải dịch nó thành đối tượng giải tích. Sau khi đã chuyển đổi một bài toán số học thành đại số và bây giờ lại cần chuyển đổi từ đại số sang ngôn ngữ lớn cuối cùng của toán học vẫn còn đứng riêng rẽ, đó là giải tích. Khi đó các công cụ của giải tích sẽ cho phép ta biết một cách hoàn hảo cấu trúc của đối tượng đại số đó.

Sau một trăm năm lỗ lực, cuối cùng vào năm 1930, nhà số học người Áo Emil Artin đã thực hiện được một phần của sự phiên dịch đó. Ông đã thành công lập được sự tương ứng giữa một số biểu diễn Galois (gọi là “giao hoán”) với các hàm tuần hoàn đặc biệt và như vậy đã lập được cầu nối giữa đại số và giải tích điều hòa – một lĩnh vực toán học được phát minh bởi nhà toán học Pháp Joseph Fouier (1768-1830) để phân tích các sóng. Vấn đề khó nhất vẫn cần phải làm, đó là tìm một công thức chung để lập sự tương ứng giữa một hàm giải tích với tất cả các biểu diễn Galois khác (tức là các biểu diễn “không giao hoán”, chúng nhiều hơn về số lượng và giàu thông tin hơn).

Robert Langlands (1930- ), nhà toán học lớn người Canada, một trong những nhà toán học lớn nhất thế kỷ trước với những đóng góp quan trọng về lý thuyết số và lý thuyết biểu diễn. Giải thưởng Wolf năm 1996 cho chương trình Langlands

Emil đã tốn hơn 30 năm để tìm kiếm công thức này nhưng đã không tìm ra. Năm 1955, một nhà toán học Nhật Bản tên là Yukata Taniyama đã đề xuất, nhưng không chứng minh, một công thức áp dụng cho các biểu diễn Galois liên quan với các phương trình eliptic. Nhưng cuối cùng, trong một bức thư gửi cho André Weil vào tháng 1 năm 1967, nhà toán học Canada Robert Langlands đã phát biểu một phương pháp chung xác lập sự tương ứng đó. Ông đã nêu ra một tập hợp các hàm điều hòa đặc biệt có tương ứng 1-1 với các biểu diễn Galois còn lại. Vậy là toàn bộ các đối tượng đại số đã có tương đương giải tích của chúng. Robert Langlands chưa chứng minh được sự tương ứng sâu sắc này, nhưng ông đã tìm được nhiều kết quả và luận chứng có sức thuyết phục để làm cơ sở cho trực giác của mình. Việc chứng minh sự tương ứng này quan trọng đối với sự nghiên cứu các con số tới mức nó trở thành cả một chương trình – chương trình Langlands.

Tuy nhiên, chương trình Langlands – cầu nối các lý thuyết toán học phức tạp nhất – rất không may lại khó chưa từng thấy. Chính vì vậy mà năm ngoái (tức năm 2000 – ngocson52) cả cộng đồng toán học phải sững sờ khi một nhà toán học trẻ người Pháp tuyên bố đã một mình hoàn thành toàn bộ một phần của chương trình đó!

MỘT SỰ ĐỐI XỨNG TUYỆT ĐỐI
Thực tế, chứng minh của Laurent Lafforgue không liên quan tới tập hợp các số nguyên. Nó được hạn chế trong một tập hợp trừu tượng hơn rất nhiều, nhưng dễ nghiên cứu hơn: đó là tập hợp các hàm gắn một giá trị với mỗi điểm thuộc một đường cong. “Trong suốt nửa đầu thế kỷ XX, các nhà toán học đã nhận thấy rằng ứng với mỗi một luật đúng đối với các con số sẽ có một luật tương tự đúng với các hàm” – Laurent Lafforgue giải thích. Trong thế giới các con số, Langlands đã bắc một nhịp cầu giữa đại số và giải tích. Nhưng vì có một sự đối xứng tuyệt đối giữa thế giới các con số nên cũng sẽ có một chương trình Langlands đúng cho thế giới các hàm.

Trong những năm 1970, nhà toán học Ucraina Vladimir Drinfeld đã phác thảo một chứng minh cho chương trình này và đã xét một trường hợp đặc biệt có tính chất quyết định. Ba mươi năm sau, sau bảy năm rưỡi đơn thương độc mã nghiên cứu hơn 600 trang trình bày, Laurent Lafforgue đã hoàn tất chương trình của Drinfeld . “Tôi sẽ không đạt được gì nếu không có công trình của Drinfeld” – Laurent nhấn mạnh. “Tôi chỉ nghiên cứu các đối tượng do ông phát minh ra và tổng quát hóa những chứng minh của ông ấy”. Sau khi đã bị thất bại trong lần chứng minh đầu tiên của mình vào năm 1999, nhà toán học trẻ người Pháp cuối cùng đã thống nhất được các ngôn ngữ đại số và giải tích vào mùa hè năm 2000.


Nhưng thế thì sao? Nếu chương trình đã được chứng minh với các hàm thì cũng tức là nó cũng sẽ đúng đối với các số vì hai thế giới này là hoàn toàn đối xứng với nhau! Điều này quá là đẹp. Nhưng sự tương tự không thể dùng để làm chứng minh. Vì vậy tất cả vẫn còn phải làm với các con số. Và trong lĩnh vực này sự tiến bộ rất là chậm chạp.

Tuy nhiên, gần đây đã có những tiến bộ đáng kể. Năm 1994, khi chứng minh một định lý nổi tiếng của số học có tên là “định lý cuối cùng của Fermat”, nhà toán học người Anh Andrew Wiles đã chứng minh được công thức của Taniyama, công thức dịch các phương trình eliptic thành các đối tượng giải tích. Nhưng hiện chưa ai biết tới thế kỷ nào chương trình Langlands mới được hoàn tất…

Dù sao, sự hoàn tất chương trình đó cũng sẽ không giải quyết được dứt điểm bài toán cổ xưa về các phương trình Diophante. Cái cầu giữa hình học và đại số thực tế vẫn là chiếc cầu một chiều. Người ta biết cách dịch các phương trình thành những biểu diễn Galois, nhưng làm thế nào dịch các biểu diễn này thành các phương trình? Để cho các nhà toán học về các phương trình Diophante nói cùng một ngôn ngữ phổ quát cần phải cho phép chiếc cầu nối này có chiều ngược lại, tức là từ đại số đến hình học.

Alexander Grothendieck đã một mình chìm đắm trong nghiên cứu về sự dịch tối hậu đó. Ông đã vẽ ra một phác thảo về nó – “lý thuyết về các motif” – nhưng chưa thiết lập được một cách chặt chẽ cơ sở của nó. “Đây là lần đầu tiên trong cuộc đời mình Grothedieck đã phải đương đầu với một bài toán mà ông không giải được” – Laurent kể. Giống như chàng Icar tiến quá gần tới Mặt Trời, Grothedieck,người được xem là một trong số các nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại, đã đột ngột dừng nghiên cứu toán học vào năm 1970 và rời IHES. Một vài năm sau, ông đã giã từ thế giới văn minh và lui về sống cuộc đời của một tu sĩ.

Laurent Lafforgue (1966 - ), nhà toán học Pháp, giải thưởng Fields năm 2002

Bỏ lại sau lý thuyết các motif cò dang dở, Alexander Grothedieck đã trao lại cho các nhà toán học những từ bập bẹ đầu tiên của một ngôn ngữ phổ quát mà chưa ai biết nói. Giờ đây Laurent Lafforgue đã rời Đại học Orsay để kế vị ông ở IHES. Trên bàn làm việc mới của Lafforgue, bên cạnh bức ảnh của Grothedieck là một tờ giấy trắng và một chiếc bút chì…

PHẠM VĂN THIỀUdịch từ tạp chí Science et Vie (Theo tạp chí Tia Sáng, tháng 5.2001)
Minh họa hình ảnh và chú thích: ngocson52
BBT: Bài viết được viết từ 2001 nên chưa có sự kiện GS Ngô Bảo Châu chứng minh thành công Bổ đề cơ bản. BBT xin mời các bạn cùng thảo luận tại: http://diendantoanho...p?showtopic=521

Tiên đề Euclide (thế kỷ III trước CN)
Nhà toán học Hy lạp là Euclide (thế kỷ III trước CN) chủ yếu đã tổng hợp các công trình của người đi trước trong tác phẩm ìNguyên lý” ông đã hệ thống các kiến thức của thời đại mình, đồng thời chứng minh lại toàn bộ xuất phát từ năm tiên đề được coi như đúng dù rằng không được chứng minh. Tiên đề cơ bản và quen thuộc nhất là: ìQua một điểm bên ngoài một đường thẳng, chỉ có thể kẻ một đường thẳng song song với đường thẳng đó”. Điều trái ngược với tiên đề này đã được Aristote xem xét trong tác phẩm ìNhững phép phân tích khác”, song với một quan điểm hoàn toàn mang tính chất giáo huấn.
Cho đến thế kỷ XIX, các nhà toán học vẫn nghĩ rằng có thể chứng minh được tiên đề đó. Bởi vậy ở thế kỷ thứ XVIII nhiều nhà toán học đã uổng công thử chứng minh nó bằng phản chứng; đã xuất hiện hai điều phủ định khả dĩ: ìTồn tại ít nhất một điểm qua đó không có một đường thănngr nào song song với đường thẳng đã cho đi qua” và ìTồn tại ít nhất một điểm qua đó ít nhất có hai đường thẳng song song khác nhau đi qua”. Việc giải thích rõ ràng hai điều ngược lại đó đã làm nảy sing hai loại hình học mới ở thế kỷ sau đó.

Lượng giác (thế kỷ III-II trước CN)
Trong thời Cổ Đại lượng giác đã phát triển như một kỹ thuật phụ của thiên văn học. vậy nên chính những nhà thiên văn Hy Lạp Asistarque de Samos (thế kỷ III trước CN) và Hipparque de Nicée (thế kỷ II trước CN) là những nhà lượng giác học tiên phong. Người Hy Lạp ở thành Alexandria là C. Ptolémée (khoảng 80-160 sau CN) đã tập hợp tất cả các tri thức của thời đó trong khảo luận gọi là ìSách thiên văn” (Almageste) của mình.
Chính nhờ người Arập ở thế kỷ IX mà lượng giác đã phát triển thành một bộ môn khoa học tách riêng hoàn toàn. Al Khwârizmi (780-850) đã lập được các bảng số sin đầu tiên, Habasch và al Hasib đã lập được các bảng tang. Sách thiên văn hoàn thiện (Perfectionnement de l’Almageste) của al Bâttâmi (877-925) là một công trình thực sự về lượng giác hiện đại, hoàn hảo hơn nhiều so với Sách thiên văn của Ptolémée. Những công trình đó được những nhà toán học Đức J. Muller (1436-1476) và G. Rhaeticus (1514-1576) sửa lại và phát triển. A. de Moivre (1667-1754) và L. Euler (1707-1783) đã gắn mỗi số phức tương ứng với một tia và một góc; bởi vậy cho phép khảo sát lượng giác nhờ hàm phức; nhờ thế chính lượng giác biến thành một lý thuyết đại số.

HÌNH HỌC
Định lý Thalès (thế kỷ VII-VI trước CN)
Trước Thales mỗi nhân viên đo đạc hoặc nhà hình học đều phải tìm những ìkỹ xảo” để đo các khoảng cách, các bề mặt v.v… Nhà triết học và toán học Hy lạp thuộc trường phái Ioni là Thales de Milet (thế kỷ VII-VI) đã có ý tưởng tài tình đo các chiều cao nhờ dùng bóng vaod lúc mà ìbóng bằng với vật”, nghĩa là vào lúc các tia nắng chiếu xuyên một góc 450. Để đo chiều cao của Đại Kim tự tháp ông đã cải tiến phương pháp của mình bằng cách sử dụng các tia nắng ở bất kỳ lúc nào. Và ông đã có thể dừng lại ở đó, song toàn bộ giá trị cồn việc của ông là muốn xuất phát từ thực nghiệm để xây dựng nên một lý thuyết: việc sử dụng các tia sáng mặt trời đã cho phép ông nghiên cứu các đường thẳng song song và mối liên hệ giữa độ dài hình chiếu và độ dài ban đầu. Rồi ông đã phát biểu một địng lý mà từ đó được gọi là Định lý Thales: ìCác đường thẳng song song chiếu những đoạn dài tỷ lệ từ đường thẳng này lên đường thẳng khác”. Như vậy là ông đã rút ra hình học từ cuốn sổ ghi chép các kỹ thuật băng cách đưa vào đó quan điểm suy diễn và chứng minh của toán học.

Định lý Pythagore (thế ky VI trước CN)
Xuất phát từ các công trình của Thales về các đường thẳng song song và cũng với tinh thần chứng minh, Pythagore, nhà triết học và toán học Hy lạp ở thế kỷ VI trước CN đã quan tâm đến hình chiếu vuông góc và đã chứng minh được định lý mang tên ông. Định lý đó thiết lập được mối liên hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác vuông. Mối quan hệ đó đã được biết đến từ thời có các nhân viên đo đạc, song chính Pythagore là người đầu tiên đã chứng minh được nó.

[size=22]Những phát minh trong toán học
(Trích từ cuốn sách ìThế giới phát minh” (Le Livre mondial des Inventions), tập III. Sách gồm 4 tập, do Valérie-Anne Giscard d’Estaing chủ biên, NXB Khoa học và Kỹ thuật, HN, 1994).

LÝ THUYẾT SỐ
Hệ đếm (thiên kỷ III trước CN)
Như các bảng bằng đất sét tìm thấy ở Sure và Uruk (hiện nay là Warka, Irac) hoặc muộn hơn nhiều, ở Nippur (Babilon, 2200-13550) cho thấy, hệ đếm đã được ghi chép lại vào thiên kỷ III trước CN. Hệ đếm Babilon thông minh là một hệ đếm cơ số 60. Cách tính thời gian của chúng ta là bắt nguồn từ đó. Không tồn tại số không, những đơn vị vắng mặt (thiếu), đơn giản được biểu thị bằng một chỗ khuyết.
Còn hệ đếm cổ của người Maya là một hệ thống cơ số 20 theo 10 ngón tay và 10 ngón chân. Hệ thống của họ đã là một hệ đếm theo vị trí và có một số không ở đầu cùng vốn không phải là một toán tử.
Vào thế kỷ V trước CN, người Hy lạp đã sử dụng các chữ trong bảng chữ cái. Đối với các số hàng nghìn người ta lấy lại chín chữ cái đầu tiên kèm theo một dấu phẩy bên trái các chữ cái đó (a có giá trị là 1 và ,a có giá trị là 1000). Hệ đếm này, vốn không có số không, đã được sử dụng suốt một thiên kỷ. Người Hêbrơ và người Arap đã làm cho hệ thống đếm này phù hợp với bảng chữ cái của họ. lúc bấy giờ các tính toán được thực hiện với các bàn tính, dụng cụ gảy bằng tay gồm nhiều hàng. Ở đó các chữ số biểu thị bằng những viên sỏi (từ ìtính toán” bắt nguồn từ calculus, có nghĩa là viên sỏi).

Hệ đếm hiện nay (thế kỷ V)
Chính vào thế kỷ V sau CN, ở Ấn Độ đã xuất hiện hệ đếm thập phân, sử dụng mười chữ số từ 0 đến 9 như chúng ta đã biết hiện nay. Năm 829, nhà bác học M.ibn Musa Khwarizm’i (780-850) đã xuất bản một cuốn sách đại số, ở đó ông đã chấp nhận hệ đếm thập phân. Tu sĩ xứ Auvergne là Gorbert đã bắt đầu tìm hiểu các chữ số ìArap” trong chuyến du ngoạn (980) tới Cordoue ở Tây Ban Nha và đã có thể bắt đầu truyền bá những ký hiệu đó khi đã trở thành Giáo hoàng Sylvestre II vào tháng 4 năm 999. Nhưng phải chờ tới L. Fibonacci, còn gọi là Léonard de Pise, mà nhờ có tác phẩm Liber Abaci của ông viết năm 1202, thì khoa học Arập mới được truyền bá ở châu Âu. Vào năm 1440, với ự phát minh ra nghề in thì mười chữ số mới có được hình dạng cố định cuối cùng.

Số không (thế kỷ IV trước CN)
Hệ đếm Babilon được hoàn thiện vào thế kỷ IV trước CN bở sự xuất hiện của số không trong các văn bản toán học, hoặc ở đầu một con số, hoặc ở giữa, nhưng không bao giờ ở cuối. Từ số không (zero) bắt nguồn từ từ Synya, có nghĩa là ìkhông có gì” trong tiếng Phạn; nó trở thành sifr trong tiếng Arap và được L. Fibonacci La tinh hoa thành zephirum. Nó được gọi là số không (zero) vào năm 1491 trong một khảo luận ở Florence.

10
Một thế cờ là một bài toán thuần túy, nhưng về một mặt nào đó nó là một bài toán "tầm thường". Bất kể có tinh xảo và rắc rối đến đâu, bất kể những bước đi là nguyên thủy và bất ngờ đến như thế nào, nó vẫn thiếu một yếu tố quan trọng. Các thế cờ "không quan trọng". Toán học thuần túy vừa phải đòi hỏi nhiều suy nghĩ vừa phải đẹp - hay có thể nói là "quan trọng" nếu anh muốn, nhưng từ đó rất mơ hồ ở đây, và "đòi hỏi nhiều suy nghĩ" diễn tả nhiều hơn điều tôi muốn nói.

Tôi không nghĩ về những lợi ích "thực tế" của toán học bây giờ. Tôi phải quay lại quan điểm này sau: hiện tại tôi sẽ chỉ nói rằng nếu một thế cờ, theo nghĩa nguyên sơ nhất, là "vô dụng", thì điều đó cũng đúng cho hầu hết những cái đẹp đẽ nhất của toán học; vì chỉ một phần rất nhỏ của toán học là có ý nghĩa thực tế, và cái phần rất nhỏ đó có thể hoàn toàn coi như là vô nghĩa. Sự "quan trọng" của một định lý toán học không nằm ở trong những kết quả thực tế, điều mà nó thường không đáng kể, mà là ở tầm quan trọng của những ý tưởng toán học nó có thể kết nối. Chúng ta có thể nói một cách đại khái là một định lý toán học là "đáng chú ý" nếu nó có thể được liên kết, một cách rất tự nhiên và đẹp đẽ, với một khối lượng lớn các ý tưởng toán học khác. Do đó một định lý đáng chú ý, định lý mà liên hệ được với các ý tưởng lớn, thường có nhiều khả năng dẫn đến những bước đột phá quan trọng trong bản thân toán học và thậm chí cả trong những ngành khoa học khác. Không có một thế cờ nào gây ảnh hưởng đến sự phát triển nói chung của những ý tưởng khoa học; trong khi đó Pythagoras, Newton, Einstein đã thay đổi cả hướng phát triển của nó.

Sự quan trọng của toán học tất nhiên không nằm trong kết quả của nó, điều đó chỉ là bằng chứng của tầm quan trọng. Shakespeare có một ảnh hưởng to lớn trong sự phát triển của nền văn học Anh, Otway không sau một ai khác, nhưng đó không phải là lý do tại sao Shakespeare là một nhà thơ lớn hơn. Ông giỏi hơn là vì ông viết những bài thơ kiệt tác hơn. Sự kém hơn của một thế cờ, cũng như thơ của Otway, không phải trong kết quả của nó mà là trong nội dung.

Có một điểm nữa mà tôi sẽ bỏ qua rất nhanh, không phải vì nó không thú vị mà bởi vì nó rất khó, và vì tôi không có một tư cách nào để thảo luận một cách nghiêm túc về vấn đề thẩm mỹ. Vẻ đẹp của một định lý toán học phụ thuộc rất nhiều vào tầm quan trọng của nó, như ngay cả trong thơ ca, vẻ đẹp của một vần thơ có thể tùy thuộc vào những hình ảnh, ý tưởng mà nó chứa đựng. Tôi đã trích dẫn hai câu thơ của Shakespeare như là một ví dụ về một kiểu mẫu đẹp; nhưng
Anh ngủ ngon sau những cơn sốt dài của cuộc sống

Có vẻ như còn đẹp hơn. Kiểu mẫu cũng hay như vậy, nhưng trong ví dụ này các hình ảnh của nó có ý nghĩa và nghe lọt tai hơn, do đó tình cảm của chúng ta được khuấy động sâu hơn. Ý tưởng có ảnh hưởng đến kiểu mẫu, thậm chí cả trong thơ ca, và một cách tự nhiên còn nhiều hơn thế trong toán học; nhưng tôi sẽ không cố gắng tranh cãi vấn đề một cách chặt chẽ hơn.

9
Một nhà toán học, cũng như một họa sỹ hay một nhà thơ, là người tạo ra những kiểu mẫu. Nếu như kiểu mẫu của anh ta tồn tại được lâu hơn so với những người khác, đó là vì chúng được tạo ra bởi những ý tưởng. Một nhà danh họa tạo phong cách bằng các hình khối và màu sắc, một nhà thơ thì dùng ngôn ngữ. Một bức tranh có thể mang một "ý tưởng", nhưng ý tưởng đó thường rất là chung và không quá quan trọng. Trong thơ ca, có thể ý tưởng sẽ đóng góp một phần quan trọng hơn; nhưng, như Housman luôn luôn khẳng định, sự quan trọng của ý tưởng trong thơ ca thường hay được hư cấu hóa lên: 'Tôi không thể tự đồng ý với chính mình rằng có cái gì đấy gọi là ý tưởng thơ ca... Thơ ca không phải là về những thứ được nhắc đến, mà là cách diễn tả nó.'

Tất cả những giọt nước của một đại dương dữ dội nhất
Cũng không thể rửa hết được hương thơm của đức vua.

Liệu những dòng thơ trên có thể tốt hơn, và liệu những ý tưởng có thể lặp lại một cách nhàm chán? Sự nghèo nàn của ý tưởng dường như không hề ảnh hưởng đến vẻ đẹp của ngôn ngữ. Một nhà toán học, trái lại, không có một thứ gì để làm cùng ngoại trừ ý tưởng, và do đó những kiểu mẫu của anh ta có khả năng kéo dài lâu hơn, vì ý tưởng thường khoác chiếc áo thời gian ít hơn ngôn ngữ.

Kiểu mẫu của một nhà toán học, như những gì của một danh họa hay một nhà thơ, phải đẹp; ý tưởng, giống như màu sắc hay ngôn từ, phải đi với nhau một cách rất điều hòa. Đẹp là một thử thách đầu tiên: không có một chỗ nào lâu dài cho những kết quả toán học thô kệch. Và ở đây, tôi phải giải thích cho một sự nhầm lẫn mà đến bây giờ vẫn còn khá phổ biến (dù cũng không còn nhiều như nó đã 20 năm trước), cái mà Whitehead đã gọi là "mê tín dị đoan", đó là tình yêu và sự nhận thức có thẩm mỹ cho toán học là "một độc tưởng chỉ áp dụng cho một vài con người lập dỵ ở mỗi một thế hệ".

Quả thật sẽ là khó để tìm được một con người có giáo dục thực sự chuyên sâu, quan tâm đến sự quyến rũ thẩm mỹ của toán học bây giờ. Có lẽ cũng hơi khó để có thể định nghĩa vẻ đẹp toán học, nhưng nó cũng đúng như vẻ đẹp của bất cứ một cái gì khác - chúng ta có thể không biết rõ cái mà chúng ta vẫn cho là một bài thơ đẹp, nhưng điều đó cũng không thể làm chúng ta không nhận ra khi chúng ta đọc chúng. Ngay cả giáo sư Hogben, người đã cho rằng sự quan trọng của vẻ đẹp toán học là rất ít, cũng không dám mạo hiểm để phủ nhận thực tế của nó. "Chắc chắn là vẫn có những người mà những bài toán là một sự hấp dẫn không liên quan đến riêng ai... sức lôi cuốn về thẩm mỹ của toán học có thể là đúng cho một số người". Nhưng chỉ có một số ít, ông cho như vậy, và họ hờ hững với thế giới xung quanh (và đó thực sự là những con người lố bịch, sống thu gọn trong những ngôi trường đại học nhỏ bé ngớ ngẩn, xa rời với những cơn gió mát lành của vũ trụ). Ở đây ông ta đã lặp lại từ "mê tín dị đoan" của Whitehead.

Sự thật là có một số môn "phổ biến" hơn toán học. Hầu hết mọi người đều coi trọng toán học, cũng như hầu hết mọi người có thể thích một điệu nhạc dễ nghe; và có thể có nhiều người thực sự quan tâm đến toán học hơn là đến âm nhạc. Nhìn qua thì có vẻ ngược lại, nhưng có những lời giải thích khá đơn giản. Âm nhạc có thể được dùng để làm tinh thần hứng thú, trong khi đó toán học thì không; và việc không có năng khiếu âm nhạc được cho (chắc chắn là) một điều bình thường, trong khi đó hầu hết mọi người đều sợ cái từ toán học đến nỗi họ sẵn sàng, một cách tự nhiên, phóng đại sự yếu kém của mình trong toán học.

Một sự tương phản nhỏ cũng để cho thấy sự không hợp lý của cái gọi là "mê tín dị đoan". Có vô số người chơi cờ ở các nước văn minh - ở Nga, hầu hết tất cả những người được đi học; và mỗi người chơi cờ đều có thể nhận ra và thán phục một thế cờ hay một ván cờ "đẹp". Nhưng một thế cờ chỉ đơn giản là một bài tập của toán lý thuyết (một ván cờ thì cũng không hoàn toàn, vì tâm lý cũng có một phần khá quan trọng), và những người cho một thế cờ là "đẹp" chính là đang vỗ tay cho vẻ đẹp của toán học, mặc dù nó chỉ đẹp ở một nghĩa tương đối khá là hẹp. Những thế cờ là những giai điệu của toán học.

Chúng ta có thể thấy các ví dụ tương tự, ở các bậc thấp hơn nhưng rõ hơn với số đông công chúng, từ trò chơi bài bridge, hay thấp hơn nữa, từ những câu đố của nhùng tờ báo quen thuộc. Hầu hết sự phổ biến sâu rộng của chúng là một sự tán thưởng cho sức quyến rũ của một thứ toán học rất thô sơ, và những người chuyên nghĩ ra câu đố, như Dudeney hay "Caliban" dùng rất ít các thứ khác. Họ biết rõ công việc của mình; điều mà công chúng muốn là một sự lôi cuốn trí tuệ, và không có cái gì khác như vậy như là sự lôi cuốn của toán học.

Tôi có thể thêm rằng không có gì trên thế giới này có thể làm hài lòng thậm chí cả những người nổi tiếng (và cả những người đã dùng những ngôn ngữ chê bai toán học) đến mức như là khám phá, hay khám há lại, một định lý toán học thực sự. Herbert Spencer đăng trong bản tự truyện của mình một định lý ông ta chứng minh khi mới 20 tuổi (mà không biết rằng nó đã được chứng minh các đây hơn 2000 năm trước thời Plato). Giáo sư Soddy là một ví dụ gần đây và hấp dẫn hơn (nhưng định lý đó thực sự là của ông)*.

* Xem bài viết trong "Hexlet" trên tạp chí Nature, tập 137-9 (1936-7)

8
Tất cả những điều đã nói rất thỏa mãn với những nhà học giả ưu tú, và đặc biệt cho những giáo sư toán học. Mọi người, luật sư hay chính khách hay những nhà doanh nghiệp, vẫn cho rằng một nghề dính dáng đến lý thuyết trừu tượng thường chủ yếu là dành cho những con người thận trọng và không tham vọng, những người chỉ quan tâm chủ yếu đến sự an nhàn và bảo đảm của chính mình. Sự chỉ trích thực ra khá nhầm lẫn. Những nhà học giả thường chấp nhận đầu hàng một số thứ, trong đó nói riêng là cơ hội làm ra nhiều tiền- một giáo sư rất khó có thể kiếm được £2000 một năm; và vị trí bảo đảm là một trong những yếu tố nói riêng làm sự đầu hàng này khá dễ dàng. Nhưng đó không phải là lý do tại sao Housman đã từ chối trở thành Nghị sỹ Simon hay Nghị sỹ Beaverbrook. Ông từ chối điều đó bởi vì tham vọng của chính bản thân mình, vì ông sẽ thấy khinh bỉ mình khi trở thành những con người sẽ bị quên lãng chỉ trong vòng 20 năm.

Mặc dù vậy, quả thật là đau đớn khi thấy rằng, với tất cả những lợi thế như vậy, một người có thể nhầm lẫn. Tôi vẫn nhớ Bertrand Russell có kể cho tôi về một giấc mơ khủng khiếp. Russell đang ở trên tầng trên cùng của thư viện trường đại học, khoảng năm 2100. Một người giúp việc ở thư viện đang đi vòng quanh các giá sách và mang theo một cái xô to khủng khiếp, lấy từng quyển sách một, liếc qua chúng, sau đó thì hoặc là xếp lại chúng trên giá hoặc là quẳng vào xô. Cuối cùng anh ta đi đến ba tập sách lớn, Russell có thể kịp nhận ra đó là những bản sao cuối cùng của Principia Mathematica. Người thủ thư lấy xuống một quyển, lật vài trang đầu, dường như suy nghĩ về những ký hiệu lạ lùng trong vài phút, đóng sách lại, cầm sách trong tay và cân nhắc...

7
Nếu sự tò mò trí tuệ, sự kiêu hãnh trong nghề và tham vọng là động lực chính thúc đẩy đến nghiên cứu, thì chắc chắn không ai có nhiều cơ hội để giải thích hơn một nhà toán học. Môn của anh ta là đáng tìm hiểu hơn cả- không có điều gì mà chân lý có thể đùa cợt được. Nó chứa đựng những công cụ trau chuốt, tỉ mỉ và quyến rũ, và mang đến những cơ hội không gì sánh được cho việc thể hiện tài năng của con người. Và cuối cùng, lịch sử đã cho thấy, những thành tựu toán học, bất kể giá trị bên trong của nó là thế nào, là những thứ tồn tại lâu dài và vĩnh cửu nhất.

Chúng ta có thể thấy điều này ngay cả ở những nền văn minh trung sử (?). Nền văn minh Babylon và Assyrian đã bị hủy diệt; Hammurabi, Sargon và Nebuchadnezzar là những cái tên vô nghĩa; mặc dù vậy toán học thời Babylon vẫn còn được quan tâm, và hệ thống chia độ trên 60 của người Babylon vẫn còn được dùng trong thiên văn học. Nhưng tất nhiên, ví dụ quan trọng nhất là của người Hy Lạp.

Những người Hy Lạp là những nhà toán học đầu tiên vẫn còn "sống" với chúng ta ngày nay. Toán học phương đông có thể cũng là một điều thú vị nhưng toán học của người Hy Lạp là một cái gì đó thực sự. Người Hy Lạp là những người đầu tiên nói thứ ngôn ngữ mà những nhà toán học hiện đại vẫn có thể hiểu; như Littlewood đã có lần nói với tôi, họ không phải chỉ là những cậu bé thông minh ở trường học, cũng không phải là những sinh viên đáng được nhận học bổng, mà là "những thành viên của một học viện khác". Do đó toán học Hy Lạp là "vĩnh cửu", lâu dài hơn cả văn học Hy Lạp. Archimedes (Ácsimét) sẽ còn được nhớ đến trong khi Aeschylus bị quên lãng, bởi vì ngôn ngữ thì chết đi nhưng những ý tưởng toán học thì không. "Bất tử" có thể là một từ lố bịch, nhưng có lẽ một nhà toán học có nhiều cơ hội nhất cho bất kể điều gì nó có thể có nghĩa.

Anh ta cũng không phải sợ tương lai sẽ không công bằng với mình. Bất tử đôi khi cũng buồn cười và tàn nhẫn: một số người trong chúng ta có thể đã chọn là Og, Ananias hay Gallio. Ngay cả trong toán học, đôi khi lịch sử cũng bị nhẫm lẫn; Rolle xuất hiện trong các sách toán giải tích như là một nhà toán học ngang hàng với Newton; Farey vẫn sống mãi vì không thể hiểu một định lý Haros đã chứng minh mười bốn năm trước đó; tên của năm người Na Uy đáng quý vẫn được nhắc đến trong cuộc đời của Abel, chỉ vì những hành động ngu đần của họ mà con người vĩ đại của đất nước đã phải trả giá. Nhưng nhìn tổng thể thì lịch sử thường công bằng, và điều này nói riêng thường đúng trong toán học. Không có một ngành khoa học nào có những tiêu chuẩn rõ ràng, được chấp nhận rộng rãi, và những con người được nhớ đến hầu như luôn luôn là những người xứng đáng với nó. Danh tiếng của toán học, nếu như anh có đủ tiền để trả cho nó, là một trong những sự đầu tư có cơ sở và vững vàng nhất.

6
Tôi sẽ giả sử rằng tôi đang viết cho những người đọc đầy, hoặc trong quá khứ đã từng, tràn đầy lòng tham vọng. Nhiệm vụ đầu tiên của một con người, ít ra cho một người trẻ tuổi, là phải có nhiều khát vọng. Tham vọng là một niềm say mê cao quý mà có rất nhiều cách thể hiện; có một điều gì đó đáng khâm phục trong tham vọng của Attila hay Napoleon: niềm tham vọng cao quý nhất đó là để lại cho đời sau một thứ gì đấy có giá trị vĩnh cửu-

Ở đây, trên những bãi cát dài,
Giữa những đại dương và đất liền,
Tôi sẽ viết hay xây cái gì đây,
Trước khi ánh đêm buông xuống?

Hãy chỉ cho tôi những điều thần bí
Đang chứa những cơn sóng tuôn trào,
Hay những pháo đài để thiết kế
Vẫn còn được nhớ mãi khi tôi qua đời.

Tham vọng luôn luôn là động lực đằng sau tất cả những công trình vĩ đại nhất của nhân loại. Nói riêng thì, thực tế cho thấy những đóng góp to lớn thiết thực cho hạnh phúc của loài người đều được tạo ra bởi những con người đầy tham vọng. Nếu phải lấy hai ví dụ nổi tiếng, chả nhẽ đấy không phải là tính cách của Lister và Pasteur? Hay một cách tương tự, vua Gillette và William Willett; ai trong thời gian gần đây đã cống hiến cho nhân loại nhiều hơn họ?

Sinh lý học cũng là một ví dụ khá tốt, vì đơn giản nó là một ngành khoa học có "lợi ích" thiết thực. Chúng ta phải cẩn thận trong sự nhầm lẫn chung của những lời xin lỗi cho khoa học: sự nhầm lẫn khi cho rằng những người mà công trình của họ đóng góp nhiều nhất cho lợi ích nhân loại thực sự nghĩ đến điều đó khi họ làm công việc của mình, hay nói riêng, một cách tương tự, đó là những nhà sinh lý học đều có một tâm hồn cao cả. Một nhà sinh lý học có lẽ sẽ rất vui mừng khi được biết công trình của mình có đóng góp cho loài người, nhưng động lực thúc đẩy và niềm khát vọng cho nó thực ra cũng chẳng khác gì so với những nhà học giả kinh điển hay một nhà toán học.

Có rất nhiều động lực cao quý dẫn con người đến việc nghiên cứu, nhưng chỉ có ba điều là quan trọng hơn cả. Điều đầu tiên (nếu như không có điều này thì hai điều sau cũng là vô nghĩa) đó là sự tò mò trí tuệ, niềm mong muốn tìm hiểu sự thật và vươn đến chân lý. Tiếp đó là sự kiêu hãnh trong nghề, sự khao khát muốn được hài lòng với công việc của mình, sự xấu hổ của bất cứ một người nghệ nhân tự tôn khi thấy thành quả của anh ta không xứng đáng với năng lực của mình. Và cuối cùng là tham vọng, khát vọng cho danh tiếng, địa vị và thậm chí có thể là quyền lực hay tiền bạc mà nó có thể mang lại. Nó có thể rất tuyệt vời khi anh cảm thấy công việc của mình đã đem lại hạnh phúc hay giảm những nối đau cho người khác, nhưng đó không phải là lý do anh làm như vậy. Do đó, nếu như một nhà toán học, hay một nhà hóa học, hay thậm chí một nhà sinh lý học nói với tôi rằng động lực thúc đẩy anh ta là lợi ích nhân loại thì tôi sẽ không thể tin được (tôi cũng không nghĩ về anh ta tốt hơn nếu như tôi có tin đi chăng nữa). Động lực chính của anh ta chắc chắn phải là những điều tôi đã đề cập ở trên, và chẳng ai cần phải xấu hổ vì chúng cả.

5
Giờ sẽ là lúc chúng ta cùng nghĩ về câu hỏi thứ nhất mà tôi đưa ra ở mục 3, câu hỏi khó hơn nhiều so với câu thứ hai. Liệu toán học, toán học theo đúng nghĩa tôi và những nhà toán học khác vẫn quan niệm, có đáng để nghiên cứu, và nếu như vậy thì tại sao?

Tôi đã xem lại những trang đầu trong bài giảng đầu tiên của tôi ở Oxford vào năm 1920, trong đó có một chút tóm lược cho một lời xin lỗi cho toán học. Nó không thỏa đáng lắm (chỉ một vài trang), và được viết theo kiểu mà tôi không mấy tự hào (tôi nghĩ, nó như một bài luận đầu tiên mà tôi cho là "văn phong" của Oxford); nhưng tôi vẫn cảm thấy rằng, dù có phát triển thế nào đi nữa, thì nó cũng chứa đựng những phần thiết yếu của vấn đề. Tôi sẽ đề cập lại ở đây, coi như là mở đầu cho một cuộc thảo luận hoàn chỉnh.

(I) Tôi bắt đầu bằng việc nhấn mạnh tính vô hại của toán học - ''việc nghiên cứu toán học là một nghề hoàn toàn vô hại và không có ích''. Tôi vẫn nghĩ như vậy, nhưng hiển nhiên sẽ phải có một sự phát triển và giải thích hợp lý.

Liệu toán học đúng là không hề có ích? Về một mặt nào đó, đơn giản là nó không phải như vậy; ví dụ như, nó đem lại nhiều điều thú vị cho rất nhiều người. Dù vậy, tôi đang nghĩ về ''lợi ích'' theo một nghĩa khá hẹp. Liệu toán học có ích, trực tiếp có ích, như các ngành khoa học khác như hóa học hay sinh lý học? Câu hỏi này nhìn chung không dễ nhưng cũng không phải là đầy tranh cãi và tôi sẽ trả lời ngay lập tức là Không, dù một số nhà toán học khác, và hầu hết những người ngoài cuộc sẽ không nghi ngờ mà trả lời Có. Toán học có ''vô hại'' không? Một lần nữa, câu trả lời cũng không phải là hiển nhiên, và tôi bằng cách nào đó vẫn thích tránh trả lời, vì nó sẽ đưa ra cả một vấn đề lớn về tác động của khoa học tới chiến tranh. Toán học liệu có vô hại, theo nghĩa, ví dụ như hóa học đơn giản là không? Tôi sẽ quay trở lại cả hai câu hỏi này ở phần sau.

(II) Tôi tiếp tục nói rằng ''vũ trụ là vô cùng, và nếu như chúng ta lãng phí cuộc đời của mình, sự lãng phí cuộc đời của một vài con người lỗi lạc cũng không phải là một khủng hoảng to lớn'': và ở đây tôi dường như đã chấp nhận sự khiêm tốn mà tôi đã gạt bỏ trong vài phút trước. Tôi chắc đó không phải là điều tôi thực sự nghĩ trong đầu; tôi đang cố gói gọn trong một câu một ý mà tôi đã giải thích rất dài ở mục 3. Tôi đã cho rằng những người như chúng ta thực sự có một chút tài năng, và chắc chắn chúng ta đã không sai lầm khi dành hết cuộc đời mình cho nghiên cứu.

(III) Và cuối cùng (một cách tu từ, điều mà làm tôi thấy đau đớn bây giờ), tôi nhấn mạnh sự vĩnh cửu của những thành tựu toán học -
Những cái chúng ta làm có thể rất nhỏ bé, nhưng nó vẫn có một chút gì đó là vĩnh cửu; và làm được bất cứ một điều gì dù có vĩnh cửu ít đến đâu, dù đó chỉ là một định lý hình học, thì cũng là làm được điều hoàn toàn nằm ngoài khả năng của phần lớn người.

Và -
Khi vẫn còn những sự mâu thuẫn giữa khoa học cổ đại và hiện đại, chắc chắn sẽ còn nhiều điều để nói về những nghiên cứu, với những kết quả không bắt đầu với Pythagoras và sẽ không kết thúc với Einstein.

Tất cả những điều này nghe có vẻ ''hoa mỹ''; nhưng ý nghĩa của nó tôi vẫn thấy hoàn toàn đúng, và tôi có thể mở rộng nó ngay lập tức mà không ảnh hưởng gì đến những câu hỏi khác mà tôi vẫn để mở.

4
Tôi nên nói một vài điều ở đây về vấn đề tuổi tác, vì nó là điều đặc biệt quan trọng cho các nhà toán học. Không có nhà toán học nào có thể cho phép mình quên rằng, toán học, hơn hẳn các môn nghệ thuật và khoa học khác, là một trò chơi của những người trẻ tuổi. Lấy một ví dụ đơn giản trong phạm vi nhỏ, tuổi trung bình của các thành viên trong viện hàn lâm là thấp nhất cho toán học.

Chúng ta có thể đưa ra nhiều thí dụ to tát hơn nhiều. Ví dụ như, ta có thể xem sự nghiệp của một con người chắc chắn là một trong ba nhà toán học vĩ đại nhất của thế giới. Newton từ bỏ toán học ở tuổi 50, và thực sự thì đã không còn hứng thú từ trước đó rất lâu rồi; chắc chắn ở tuổi 40 Newton đã nhận ra rằng những ngày tháng sáng tạo của mình sẽ không bao giờ còn nữa. Công trình và ý tưởng lớn nhất của ông, về vi phân và lực vạn vật hấp dẫn, nảy sinh trong đầu ông từ năm 1666, khi ông chỉ có 24 tuổi – ''những ngày đó, tôi đang ở đỉnh điểm cho những phát minh, cho toán học và triết học hơn bao giờ hết''. Newton có một số công trình vĩ đại khác khi ông gần 40 (quỹ đạo elliptic ở tuổi 37), nhưng sau đó thì ông làm rất ít và chỉ chau chuốt cho những gì mình đã làm.

Galois mất năm 21 tuổi, Abel năm 27, Ramanujan ở tuổi 33 và Riemann năm 40. Có một số người vẫn còn đưa ra những công trình vĩ đại một thời gian sau đó; kết quả của Gauss về hình học vi phân được công bố năm ông 50 (mặc dù ông đã có ý tưởng này từ 10 năm trước đó). Tôi không thể ngay lập tức đưa ra ví dụ về một thành tựu lớn đưa ra bởi một nhà toán học đã qua tuổi 50. Nếu một người đã nhiều tuổi mất đi hứng thú cho và từ bỏ toán học, sự mất mát đó có lẽ là không đáng kể, kể cả cho toán học hay cho bản thân ông ta.

Một mặt khác, cái lợi cũng không được là mấy; những thành tích ghi lại được của những nhà toán học đã bỏ toán cũng khá nản lòng. Newton làm công việc của mình khá tốt (chỉ khi ông không cãi nhau với những người khác). Painlevé không phải là một thủ tướng thành công của Pháp. Sự nghiệp chính trị của Laplace đầy tai tiếng, nhưng dù sao thì Laplace cũng không phải là một ví dụ tốt, thực sự ông không trung thực nhiều hơn là không có khă năng và không bao giờ có thể ''từ bỏ'' toán học. Sẽ rất khó để tìm được một nhà toán học hạng nhất sau khi đã bỏ toán mà vẫn dành được danh tiếng xuất sắc trong một ngành nào đó khác http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beerchug.gif. Cũng có thể có một số người trẻ tuổi đã có thể thành những nhà toán học bậc nhất nếu anh ta theo đuổi toán học nhưng tôi cũng chưa bao giờ được nghe một ví dụ lọt tai. Tuy nhiên tất cả những điều này chỉ hoàn toàn xuất phát từ những kinh nghiệm rất hạn chế của bản thân tôi. Những nhà toán học trẻ có tài năng thật sự mà tôi biết đều luôn chung thủy với toán học, và không hề thiếu tham vọng, thậm chí còn thừa những điều đó; tất cả họ đều nhận ra rằng, nếu như có cái gọi là danh vọng, thì đó là con đường sẽ dẫn họ đến.

http://diendantoanho...lt/image075.gif Pascal có lẽ là ví dụ điển hình nhất

Vẫn còn một lời giải thích khác mà tôi gọi là biến tấu nhỏ của lời xin lỗi thứ nhất; nhưng tôi có thể gạt bỏ chỉ trong vài từ.

(II) ''Chẳng có một cái gì mà tôi có thể làm được tốt. Tôi làm cái tôi đang làm vì đơn giản là nó xuất hiện trên con đường của tôi. Tôi chưa bao giờ có một cơ hội nào để làm cái gì khác cả.'' Và lời xin lỗi này tôi cũng chấp nhận là khá thuyết phục. Cũng đúng khi nói rằng hầu hết mọi người không làm được cái gì giỏi. Nếu quả thực như vậy, thì việc người ấy chọn một ngành nghề nào cũng không ảnh hưởng gì lắm, và cũng chẳng còn gì để nói thêm nữa. Đó là một câu trả lời thuyết phục, nhưng khó có ai có thể nói như vậy với chút gì đó tự hào; và vì thế, tôi có thể giả sử là không ai trong chúng ta hài lòng về nó cả.

3
Một người đã định giải thích cho sự tồn tại và việc làm của mình thường phân biệt hai câu hỏi khác nhau. Câu đầu tiên là công việc mà anh ta đang làm liệu có đáng giá không; và điều thứ hai, tại sao anh ta lại làm việc đó, không kể đến giá trị của nó là như thế nào. Câu hỏi đầu thường rất khó và dễ làm nản lòng, trong khi đó câu thứ hai lại khá đơn giản. Một cách trung thực, câu trả lời cho chúng thường ở một trong hai thể loại; và loại thứ hai thường chỉ là một biến hình của loại thứ nhất, câu trả lời mà chúng ta thực sự quan tâm.

(I) ''Tôi làm cái tôi làm vì đó là một và cũng là cái duy nhất tôi có thể làm tốt. Tôi là một luật sư, một người buôn bán chứng khoán, hay một cầu thủ cricket chuyên nghiệp bởi vì tôi có năng khiếu thực sự cho công việc đó. Tôi là một luật sư vì tôi có một giọng lưỡi trôi chảy và tôi thích sự tinh tế của môn luật; tôi là một người buôn bán chứng khoán vì sự phán đoán thị trường của tôi rất tinh tế và nhanh nhạy; tôi là một cầu thủ cricket chuyên nghiệp vì tôi chơi tốt không thể tưởng tượng được. Tôi cũng đồng ý có lẽ sẽ tốt hơn nếu như tôi trở thành một nhà thơ, hay một nhà toán học, nhưng rất tiếc tôi lại không hề có một tý tài năng cho những môn như vậy.''

Tôi không cho rằng đây là lời bảo vệ của đa số người, vì rất nhiều người không thể làm bất cứ cái gì tốt cả. Nhưng chắc chắn đó là câu trả lời hợp lý, dù chỉ cho một phần nhỏ đại diện: có lẽ 5 hay 10% số người có thể làm một việc gì đó tốt hơn hẳn. Nó còn là một phần nhỏ hơn nhiều nữa cho những người có thể làm một việc gì đó "cực" tốt, và số người có thể làm hai việc tốt liền là không đáng kể. Nếu một người nào đó có một chút ít tài năng , anh ta nên sẵn sàng hy sinh tất cả để theo đuổi nó đến cùng.

Quan điểm này cũng đã từng được nhắc đến bởi tiến sỹ Johnson-
Khi tôi bảo với anh ta tôi đã từng được thấy (một người trùng tên) Johnson một lúc cưỡi ba con ngựa liền, anh ta nói ngay, ''Ông thấy không, một người như vậy phải được khuyến khích, vì tài năng của anh ta cho thấy khả năng to lớn của loài người...''
và một cách tương tự, Johnson chắc đã vỗ tay khen ngợi những nhà leo núi, những người bơi vượt kênh biển hay những người chơi cờ bịt mắt. Về phần tôi, tôi thực sự cảm kích với tất cả những điều đó về những thành quả đáng kinh ngạc. Tôi cũng cảm kích ngay cả với những nhà ảo thuật hay những người có khả năng nói tiếng bụng; và khi Alekhine và Bradman phá vỡ kỷ lục trước đó, tôi đã rất thất vọng nếu như họ không đạt được như vậy. Và ở điểm này, Johnson và tôi đều tìm thấy mình trong tiếng nói của công luận. Như W.J.Turner đã nói, chỉ có những tay "cù lần" mới không ngưỡng mộ những người "tai to mặt lớn".

Tất nhiên chúng ta phải phân biệt những tính chất khác nhau của mỗi công việc. Tôi thà là một người viết tiểu thuyết hay một họa sỹ hơn là một chính khách với danh tiếng tương tự; và có rất nhiều con đường dẫn đến sự nổi tiếng mà đa số chúng ta sẽ gạt bỏ ngay lập tức vì có thể nguy hại. Mặc dù vậy, những sự khác nhau đó hiếm khi có thể thay đổi lựa chọn của một người trong ngành nghề của mình, cái chính luôn là sự hạn chế trong khả năng của anh ta. Thơ ca có giá trị hơn cricket, nhưng Bradman sẽ thành một chàng khờ nếu như anh ta từ bỏ môn cricket để viết một vài bài thơ nhỏ loại hai (tôi chắc Bradman không thể làm tốt hơn thế). Nếu tài năng của Bradman trong môn cricket bớt đi một chút, và thơ ca lại hơn thì sự lựa chọn có thể sẽ khó hơn nhiều: Tôi không biết là tôi thích làm Victor Trumper hay Rupert Brooke nữa. Cũng may là khă năng như vậy rất hiếm khi xảy ra.

Tôi có thể thêm vào rằng những người như vậy khó có thể trở thành những nhà toán học. Thường thì có vẻ hơi phóng đại khi nói về sự khác nhau giữa trí tuệ của những nhà toán học so với những người khác, nhưng không thể phủ nhận là năng khiếu cho toán học là một trong những tài năng đặc biệt nhất, và thường rất khó có thể phân biệt giữa năng lực và sự uyên bác của các nhà toán học. Nếu một người theo nghĩa nào đó là một nhà toán học thực sự, thì 100 ăn 1 là toán của anh ta tốt hơn hẳn so với tất cả những gì mà anh ý có thể làm, và sẽ rất ngu ngốc nếu như anh ta lại đầu hàng, hay từ bỏ cơ hội phát huy tài năng của mình để chạy theo một việc gì đó trong những ngành khác. Sự hy sinh đó chỉ có thể giải thích bằng nhu cầu mưu sinh hay là do tuổi tác.

2
Tôi định đưa ra một lời xin lỗi cho toán học; và có thể ai đó sẽ nói điều đó là không cần thiết, bởi vì ngày nay đã có một số công trình được công nhận rộng rãi là có ích và rất đáng ca tụng, với lý do tốt hoặc xấu. Điều đó có lẽ là đúng; thực ra kể từ thành công vang dội của Einstein, thiên văn học các vì sao và vật lý nguyên tử dường như là hai ngành khoa học duy nhất trội hơn hẳn trong đánh giá của mọi người. Một nhà toán học không cần thiết phải coi mình như đang thủ thế. Không nhất thiết gặp phải sự đối nghịch như Bradley miêu tả việc bảo vệ của thần học trong phần giới thiệu của cuốn "Bề ngoài và thực tế (?)".

Một nhà thần học, như Bradley viết, sẽ luôn được nghe mọi người nói "toàn bộ lý thuyết thần học là không thể có được", hoặc "thậm chí nếu nó có thể đúng một phần nhỏ nào đó, nó cũng hoàn toàn không thể đưa ra một ứng dụng thực tế nào". Cũng như vậy, "những vấn đề tương tự, những cuộc tranh luận như nhau, những thất bại hoàn toàn giống nhau. Sao không quên chúng đi và thoát ra khỏi vòng luẩn quẩn? Chả nhẽ không còn việc gì trên đời đáng giá hơn để làm nữa hay sao?". Chắc chắn sẽ không có ai ngu ngốc đến mức dùng những lời đó cho toán học. Khối lượng đồ sộ của chân lý toán học là hiển nhiên; những ứng dụng thực tế như cầu, động cơ và máy hơi nước là không thể chối cãi. Có lẽ không ai cần phải thuyết phục là toán học có lợi ích thực tế nào đó cho cuộc sống.

Tất cả, nếu hiểu như thế này, dường như rất thỏa mãn cho những nhà toán học, nhưng thực sự một nhà toán học khó mà có thể chấp nhận được nó. Bất cứ nhà toán học thực thụ nào cũng phải cảm thấy rằng toán học không phải dựa trên những kết quả, những điều tầm thường như vậy, rằng danh tiếng và sự phổ biến rộng rãi của toán học đã được xây dựng phần lớn trên sự nhầm lẫn và thiếu hiểu biết của đa số người, và rằng có cách bảo vệ toán học hợp lý hơn như vậy. Dù thế nào đi nữa, tôi cũng quyết định sẽ đưa ra một lời giải thích. Điếu đó chắc sẽ là một công việc dễ dàng hơn lời xin lỗi của Bradley rất nhiều.

Để như vậy, tôi sẽ hỏi tại sao nghiên cứu về toán học lại thực sự đáng giá? Điều gì là lời giải thích hợp lý nhất cho cuộc đời của một nhà toán học? Và câu trả lời của tôi, như bao nhà toán học khác, sẽ đại loại là: Tôi nghĩ điều đó đáng giá và có vô vàn lời giải thích. Nhưng tôi sẽ nói trước là sự bảo vệ của tôi cho toán học sẽ là lời bảo vệ cho chính mình, và lời xin lỗi của tôi về mặt nào đó có vẻ như hơi tự cao tự đại. Tôi sẽ không nghĩ việc xin lỗi cho toán học là đáng giá nếu như tôi tự coi mình là một thất bại của chính bản thân nó.

Một phần của việc tự cao như thế này là không thể tránh khỏi, và tôi không nghĩ là cần phải giải thích cho điều đó. Những công trình vĩ đại không bao giờ được làm bởi những con người tầm thường. Một trong những nhiệm vụ đầu tiên của một nhà học giả là phải thổi phồng thêm một ít về sự quan trọng về công việc của mình và những đóng góp của mình trong nó. Một người luôn tự hỏi "Cái tôi đang làm có đáng giá không?" và "Tôi có đúng là người nên làm nó không?" sẽ làm anh ta trở thành một người vô tích sự và làm nhụt chí của cả những người khác. Điều anh ta nên làm là nhắm mắt lại một chút, nghĩ thêm một chút về công việc của mình và về mình hơn là nó đã đáng giá. Việc đó không phải quá khó: cái khó hơn đó là không được làm công việc của anh ta và chính mình trở nên lố bịch vì nhắm mắt lại quá chặt.

Lời xin lỗi của một nhà toán học

1
Đó là một kỷ niệm buồn cho một nhà toán học thực thụ khi thấy mình đang viết về toán học. Công việc của một nhà toán học là làm một cái gì đó, là chứng minh những định lý mới, là góp phần thêm vào toán học, chứ không phải là nói về những gì người đó hay những nhà toán học khác đã làm. Những nhà chính khách thường khinh miệt những người xuất bản, danh họa thường coi thường những người phê bình nghệ thuật, và những nhà toán học thường cũng có cảm giác tương tự như vậy; không có sự khinh miệt nào bẳng sự khinh miệt của một người tạo ra thành quả để cho những người khác giải thích hay bình luận. Sự trình bày, chỉ trích hay tán thưởng là công việc cho tầng lớp thứ hai.

Tôi vẫn nhớ đã tranh luận điều này một lần trong vô số những lần nói chuyện với Housman. Housman, trong bài giảng về Leslie Stephen "Tên gọi và bản chất của thơ ca", đã phủ nhận rất cương quyết mình là một nhà phê bình; nhưng những lời phủ nhận của Housman lại có cảm giác rất ngoan cố và cho thấy một sự ngưỡng mộ cho những phê bình văn học đã từng khiến tôi giật mình.

Hausman bắt đầu bằng một câu trích dẫn từ bài giảng của mình 22 năm trước -
Tôi không thể nói chắc chắn phê bình văn học có phải là món quà quý giá nhất mà tạo hóa có hay không; nhưng tạo hóa dường như nghĩ như vậy, vì hiển nhiên đó là món quà được ban phát dè dặt nhất. Người diễn thuyết và nhà thơ..., nếu như ít hơn so với những quả dâu đen, vẫn nhiều hơn số lần quay trở lại của sao chổi Halley: trong khi đó những nhà phê bình văn học lại ít hơn như vậy...

Và Housman tiếp tục -
Trong 22 năm qua, tôi đã tiến bộ một số mặt, thoái hóa một số mặt khác, nhưng tôi vẫn chưa đủ khá hơn để trở thành một nhà phê bình văn học, cũng như chưa thoái hóa đến mức ngưỡng mộ con người của tôi bây giờ.
Tôi thấy thất vọng khi một nhà học giả vĩ đại, một nhà thơ lớn lại viết ra như vậy, và vì thế, vài tuần sau khi tôi ngồi gần Housman, tôi nhào đến và hỏi Housman.
Liệu Housman có thật sự nghĩ như những gì ông đã nói? Chả nhẽ với ông cuộc đời của nhà phê bình xuất sắc nhất lại có thể so sánh với của một nhà học giả hay một nhà thơ? Chúng tôi đã tranh luận suốt cả bữa ăn, và tôi nghĩ cuối cùng thì Housman cũng đồng ý với tôi. Không phải tôi đang tuyên bố chiến thắng với một người đã không còn bao giờ có thể tranh cãi với tôi được nữa; nhưng đến cuối buổi tranh luận, câu trả lời của Housman cho câu hỏi đầu là "Có lẽ không hoàn toàn như vậy" và "Có thể không" cho câu hỏi thứ hai.

Có một vài điểm còn nghi ngờ trong suy nghĩ của Housman, và tôi cũng không muốn lôi kéo ông về phía mình; nhưng đó là điều chắc chắn trong suy nghĩ của những người làm khoa học; tôi cũng không phải ngoại lệ. Nếu như một lúc nào đó tôi thấy mình không viết toán mà là viết "về" toán học, thì đó là một lời thú tội về sự yếu kém, điều mà nhiều người trẻ tuổi và những nhà toán học thực thụ cảm thấy tiếc cho bản thân tôi. Tôi đang viết về toán học bởi vì, như những nhà toán học khác khi đã qua tuổi 60, tôi không bao giờ còn có thể suy nghĩ một cách sảng khoái, còn năng lực hay kiên nhẫn để tiếp tục một cách có hiệu quả công việc thực thụ của tôi.