ngocson52

Hôm trước mấy bạn học sinh nhờ tôi tư vấn và dạy một ít về các loại toán thi ĐH FPT. Tôi đã dịch từ các tài liệu luyện thi GMAT được 1 ít bài toán dạng này. Vì thời gian gấp (còn 2 ngày nữa là thi) nên không dịch được nhiều và cũng không có thời gian để chỉnh sửa, trau chuốt từ ngữ. Thực ra các kỳ thi vào FPT (tính cả thi lập trình viên Aptech) cũng chỉ quanh quẩn trong các đề thi GMAT mà thôi.
Đề thi ĐH FPT không khó nếu ta có nhiều thời gian . Nếu trong 120 mà phải làm 90 câu thì hoàn toàn không đơn giản chút nào. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích phần nào cho các bạn trong kỳ thi sắp tới.
Chúc các bạn thi tốt.

Bài này là bài gì thế MM. Máy anh ko có headphone nên chả đọc đuợc chữ gì.

Hiện nay các bạn có thể gửi trực tiếp 1 bài nhạc lên diễn đàn mà không cần đưa link. Sau đây là cách gửi. Ngoại trừ 2 loại Youtube và Google Video, thì các file nhạc muốn chạy được phải có link chính xác, chẳng hạn như: [url="http://"từ cấm".com/tenbaihat.mp3"]http://"từ cấm".com/tenbaihat.mp3[/url]. Tất cả các link không có định dạng như trên đều không hợp lệ.

1. Đối với file Flash (đuôi là swf):
Đặt link vào giữa thẻ flash:

[flash]http://www.com/tenbaihat.swf[/flash]

2. Đối với các loại file media (ko phải là file real):
Đặt link vào giữa thẻ media:

[media]http://www.com/tenbaihat."từ cấm"[/media]

(các đuôi có thể là mp3, wma, wmv, dat, ...)

3. Đối với file Real (đuôi là rm)
Đặt link vào trong thẻ real

[real]http://www.com/tenbaihat."từ cấm"[/real]

4. Đối với file video trong Youtube:
Đặt link vào trong thẻ youtube

[youtube]link[/youtube]

5. Đối với file video trong Google Video:

Đặt link vào trong thẻ gvideo

[gvideo]ID[/gvideo]

ID ở đây là dãy ký tự đằng sau "id=" trong link của google video (dãy ký tự cuối cùng sau dấu =).

Chúc các bạn vui vẻ.

<span style='color:blue'><span style='font-size:14pt;line-height:100%'><center>Tấm gương tự học của một nhà bác học mù</center></span></span>
<center>GS.TS Nguyễn Văn Đạo</center>

Hơn ba mươi năm về trước, khi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Tổng hợp Quốc gia Mat-scơ-va mang tên Lô-mô-nô-sốp, tôi được dự những bài giảng về lý thuyết phương trình vi phân của nhà toán học Xô Viết lỗi lạc – viện sĩ Pôn-tria-ghim L.S. Đi kèm với công thức được ông đọc, những bài giảng của ông cuốn hút tôi không chỉ bởi nội dung sâu sắc và cách trình bày dễ hiểu mà còn bởi người giảng nó bị mù từ thủa thiếu thời – lúc 13 tuổi. Nghĩa là ông trờ thành nhà toán học hàng đầu thế giới, nhưng chiưa khi nào tận mắt nhìn thấy các công thức toán học! Cả khối lượng đồ sộ kiến thức toán học của loài người ông đã tiếp thu qua con đường tự học, và cũng cả một khối lượng công trình nghiên cứu lớn về toán học mà ông để lại cho loài người – trong đó có những ngành khá trừu tượng như Tô-pô hình học, lý thuyết điều khiển – là kết quả của những năm tháng miệt mài lao động sáng tạo. Dưới đây là trích tự thuật của ông.

<center>
Lev Semenovich Pontryagin (1908-1988)</center>

Trước lúc 13 tuổi (ông sinh 1908), tôi chưa có một khái niệm gì về nghề nghiệp tương lai và cũng chưa có thiên hướng gì về toán học. Năm tám tuổi, nhà nghèo không có điều kiện theo học trường lớp tốt. Mẹ là thợ may, còn cha làm kế toán. Năm 13 tuổi tôi bị mù hoàn toàn do một tai nạn. Vấn đề chọn nghề đối với tôi trở nên bức xúc và phức tạp. Thoạt đầu tôi định học nhạc, nhưng rồi thôi vì không có khiếu. Sau đó tôi lại định theo các ngành nhân văn và sử học nói riêng. Toán học đối với tôi khi đó thật là việc khó và tôi không hề có ý định lấy nó làm nghề. Tuy nhiên mãi cho đến năm lớp 8 và đặc biệt năm lớp 9 (năm cuối ở trường phổ thông ở Liên Xô khi đó) tôi mới đặc biệt quan tâm đến môn toán và đã có chút ít khái niệm về toán học cao cấp. Những kiến thức toán học cao cấp mà tôi có được là nhờ vào các cuốn sách phổ biến nho nhỏ và nhờ vào từ điển bách khoa. Khi học xong trung học tôi đã rất yêu môn toán và không nghĩ đến nghề khác, ngoài toán học. Chính vì vậy mà tôi quyết định thi vào khoa toán lí của trường Tổng hợp Mat-scơ-va (năm 1925). Việc được nhận vào học cũng gặp nhiều khó khăn vì người ta không tin rằng tôi có thể theo học được ngành toán. Khi vào học, tôi được sự giúp đỡ tận tình của các thày giáo và các bạn học. Tôi đi dự bài giảng, hết sức tập trung chú ý, tôi hiểu và thuộc bài ngay, không khi nào ghi chép. Phương pháp học tập của tôi là tự nhắc lại trong đầu bài học cũ trước khi nghe giảng bài mới, nhờ vậy, đến khi đó tôi đã hầu như thuộc lòng bài.

Trong bốn năm học đại học, tôi thường ở trong trường suốt từ sáng đến khuya và trở về nhà trọng trạng thái mệt mỏi và đói bụng. Bắt đầu từ năm thứ 2 tôi đã theo học những bài giảng và hội thảo khoa học do các nhà toán học nổi tiếng hướng dẫn. Sau khi tốt nghiệp đại học tôi được giữ lại làm nghiên cứu sinh 2 năm. Nhưng ngay sau năm đầu nghiên cứu tôi đã được bổ nhiệm làm phó giáo sư giảng về đại số trừu tượng và lý thuyết nhóm.

Năm 1934 trong một buổi thuyết trình, nhà toán học Pháp Cac-ta E, đã đặt ra một bài toán hay và khó mà ông chưa giải được. Tôi đã chăm chú nghe và sau đó đã giải quyết thành công bài toán này và đem báo cáo tại Hội nghị toán quốc tế năm 1935 tại Mat-scơ-va. Điều thú vị là lần đầu tiên tôi đọc báo cáo bằng tiếng Anh do mình tự học. Sau này, tiếng Anh cũng thường được tôi dùng để giảng bài ở nước ngoài. Năm 1958 Ban tổ chức Hội nghị toán học quốc tế mời tôi đọc báo cáo tại hiên họp toàn thể về ìLý thuyết toán học của các quá trình điều khiển tối ưu”. Năm 1970 tôi lại được mời đọc báo cáo tại phiên họp toàn thể của Hội toán học quốc tế về ìcác trò chơi vi phân”.

Tôi được bầu là Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô vào năm 1958, lúc 50 tuổi. Cũng như lần trước, khi được bầu làm Viện sĩ Thông tấn vào năm 1939, tôi không hề cảm thấy hồi hộp vì cả hai lần tôi đều tin chắc vào sự thành công. Cuốn sách tôi viết chung cùng các học trò: ìLý thuyết toán học của các quá trình điều khiển”, xuất bản năm 1961 đã được giải thưởng Lê-nin vào năm 1962. Năm 1970, tôi được bầu là Phó chủ tịch Hội toán học Quốc tế. Năm 1969 tôi được tặng thưởng danh hiệu anh hùng lao động xã hội chủ nghĩa và Huân chương Sao vàng…

Tấm gương về sự say mê học tập, sáng tạo và ý chí kiên cường vượt khó, vươn lên số phận của nhà toán học nổi tiếng thế giới – Viện sĩ Pôn-tria-ghin đáng để chúng ta soi chung và khích lệ tất cả chúng ta trên con đường tự học, tự vươn lên.

A.Grothendieck, người chứng minh ìđịnh lý”:
ìTồn tại nền toán học việt nam” (1)
HÀ HUY KHOÁI
Sau khi từ Việt Nam trở về tháng 11 năm 1967, Grothendieck đã viết một bài về chuyền đi của mình, kết thúc bằng câu: ìTôi đã chứng minh một trong những định lý quan trọng nhất của mình, đó là: Tồn tại một nền toán học Việt Nam”. Bài viết đó nhanh chóng trở thành nổi tiếng trong giới toán học, bởi vì bất cứ điều gì Grothendieck viết ra đều là điều mà mọi người làm toán quan tâm.
Phải nói rằng, không phải Grothendieck chỉ ìchứng minh” sự tồn tại nền toán học Việt Nam, mà chính ông đã góp phần vào ìsự tồn tại” đó. Tôi hiểu điều này một cách rõ ràng khi, rất nhiều năm sau chuyến đi của Grothendieck, nhiều đồng nghiệp nước ngoài nói với tôi rằng, họ biết đến nền toán học Việt Nam từ sau khi đọc bài viết của Grothendieck. Và cũng nhiều lần, tôi phải kể lại tường tận những gì tôi đã được chứng kiến, những gì Grothendieck đã làm trong chuyến đi thăm Việt Nam.

Bản thân sự kiện Grothendieck đến Việt Nam đã là điều đáng ngạc nhiên. Ông, người được trao giải thưởng Fields (là giải thưởng cao nhất về toán, tương tự giải Nobel đối với các ngành khoa học khác, được tặng 4 năm một lần cho 1-4 nhà toán học xuất sắc nhất thế giới), người mà bất kỳ một trường đại học lớn nào cũng lấy làm vinh dự khi ông đến thăm, lại đi đến Việt Nam đang dưới bom đạn ác liệt? Nhưng, để có thể hình dung tại sao những điều Grothendieck viết ra lại có ảnh hưởng to lớn như vậy trong thế giới toán học, xin được nói đôi lời về ông.
Ag không phải là một người có một thời thơ ấu êm ả và thuận lợi. Ông sinh năm 1928 ở Đức. Cha ông mất năm 1943 trong trại tập trung Dachau, ông cùng với mẹ chuyển sang sống ở Pháp ngay trong thời kỳ chiến tranh thế giới thứ hai để tránh họa phát xít. Tại Pháp, ông được những người chống phát xít giúp đỡ để có thể đến trường học. Năm 1948, ông đến Paris tìm gặp Henri Cartan, và ít lâu sau đến Nancy làm việc dưới sự hướng dẫn của Jean Dieudonné, một trong những nhà toán học xuất sắc nhất thời bấy giờ. Luận án tiễn sĩ mà Grothendieck viết thời kỳ đó đã nhanh chóng trở thành kinh điển. Trong luận án của mình, Grothendieck xây dựng lý thuyết tích tenxơ các không gian hạch lồi địa phương, một lý thuyết mà đến nay vẫn là nền tảng của giải tích hàm hiện đại. Năm 1958, khi ở Pháp thành lập Insitiut des Hautes Etudes Scientifiques (nổi tiếng trong giới toán học dưới tên gọi IHES). Grothendieck trở thành một trong những giáo sư đầu tiên của Viện.
Có lẽ những năm những năm làm việc ở IHES là những năm rực rỡ nhất của thiên tài Grothendieck. Bằng lý thuyết các ìlược đồ”, ông muốn làm cho hình học, đại số, số học và một số lĩnh vực cơ bản khác của toán học trở thành một khối thống nhất (2). Grothendieck đã làm một cuộc cách mạng thực sự trong toán học. Có thể nói, ông để lại dấu ấn của mình trong mọi lĩnh vực của toán học hiện đại. Người ta có thể nhận ra ảnh hưởng của Grothendieck ngay cả khi không thấy trích dẫn định lý cụ thể nào của ông. Điều này cũng giống như ảnh hưởng của Picasso đến thẩm mĩ của thời đại chúng ta: ta nhận ra Picasso không chỉ qua các bức họa của ông, mà thấy Picasso ngay trong hình dáng của những vật dụng hàng ngày. Grothendieck đã góp phần làm cho IHES thực sự trở thành một trong vài ba trung tâm lớn nhất của toán học thế giới. Chỉ một chi tiết sau đây cũng cho ta thấy rõ điều đó: từ ngày thành lập đến nay, IHES mới có 9 người là ìgiáo sư chính thức” (professeur permanent) thì đã có 6 người đoạt giải Fields, đó là Alexandre Grothendieck, René Thom, Jean Bourgain, Alain Connes, Pierre Deligne, Maxim Kontsevich. Hàng năm, có khoảng 200 lượt người đến làm việc tại IHES (khoảng từ một tuần đến một năm). Bản thân tôi cũng có cái may mắn được làm việc tại IHES một năm, từ tháng 1 đến tháng 12 năm 1988. Lúc đó, Grothendieck đã rời IHES, nhưng cũng như tất cả mọi người, tôi luôn thấy ìtinh thần Grothendieck” thể hiện ở khắp nơi, trong cách thức tiến hành các hoạt động khoa học cũng như trong những vấn đề nghiên cứu của IHES, và cả trong những câu chuyện hàng ngày.
Việc Grothendieck đột ngột rời bỏ IHES, và nói chung, rời bỏ toán học năm 1970, vào thời kỳ thiên tài của ông đang ở đỉnh cao, đã làm xôn xao giới toán học. Cho đến tận bây giờ, người ta vẫn không thật hiểu rõ tại sao. Nhiều người cho rằng ông không đồng ý với việc IHES nhận một số tiền tài trợ của các cơ quan quân sự (vào thời điểm đó, số tiền này vào khoảng 3,5% ngân sách của Viện). Ông là người luôn có những quan điểm riêng của mình, và có thể là như nhiều người quan niệm, ông khá ìngây thơ” về chính trị. Giáo sư Louis Michel kể lại: có một lần, ông cho Grothendieck xem bản thông báo về một hội nghị quốc tế mà Grothendieck được mời làm báo cáo viên chính. Trong phần liệt kê các cơ quan tài trợ có NATO, và Michel hỏi Grothendieck xem có biết NATO là gì không, thì Grothendieck trả lời ìkhông!”. Sau khi được giải thích NATO là gì, Grothendieck đã viết thư cho ban tổ chức hội nghị để phản đối. Và cuối cùng, vì không muốn mất Grothendieck, ban tổ chức đành mất NATO!
Vậy mà con người có vẻ ngây thơ về chính trị, không biết NATO là gì, đã đến thăm và giảng bài tại Việt Nam trong thời gian chiến tranh. Khi ông đến Việt Nam (năm 1967), tôi vừa học xong năm thứ tư Khoa toán Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội. Tuy đã tốt nghiệp nhưng chưa nhận công tác nên tôi được ìtự do” rời khu sơ tán về Hà Nội và đi nghe các bài giảng của ông. Thường thì Giáo sư Tạ Quan Bửu hoặc Giáo sư Đoàn Quỳnh phiên dịch cho ông. Tôi thật sự kinh ngạc vì sự bình tĩnh của ông: các bài giải của ông thường bị ngắt quãng vì những lần máy bay Mỹ bắn phá thành phố. Vậy mà ông, người đến từ một đất nước đã từ lâu không có chiến tranh, không tỏ ra mảy may lo sợ.
Nhưng rồi thì các bài giảng của ông cũng phải chuyển lên khu sơ tán, vì không thể nào giảng bài khi mà buổi học bị ngắt quãng hàng chục lần vì máy bay. Và ở khu sơ tán, có một hình ảnh về ông mà không bao giờ tôi quên. Đó là có một lần, tôi thấy ông cởi trần ngồi đọc sách, cái áo màu ìphòng không” vắt trên bụi sim. Hỏi ra mới biết, ông giành toàn bộ va li của mình để mang sách vở sang tặng các nhà toán học Việt Nam, và chỉ có một bộ quần áo duy nhất mặc trên người! Vậy nên mỗi lần giặt, ông phải chờ quần áo khô để mặc lại chứ không có quần áo để thay! Trong thời gian ông ở Việt Nam, mỗi tuần ông đều nhịn ăn ngày thứ sáu. Khi các nhà toán học Pháp biết chuyện, họ đều rất ngạc nhiên vì không thấy ông có thói quen đó khi ở Pháp. Và người ta cho rằng chỉ có thể có một cách giải thích: ông muốn tiết kiệm một phần lương thực cho Việt Nam! Đó là một con người với thiên tài kỳ lạ, cá tính kỳ lạ, và có tấm lòng ưu ái với Việt Nam. Theo lời ông nói, chuyến đi Việt Nam đã làm ông thật sự ngạc nhiên: ở một đất nước ngày đêm phải đối đầu với cuộc chiến tranh ác liệt bậc nhất trong lịch sử, người ta vẫn dạy toán, học toán, và biết đến những thành tựu hiện đại nhất của toán học! Từ sự ngạc nhiên đó, ông đã công bố định lý của mình: ìTồn tại một nền toán học Việt Nam”.
ìĐịnh lý” trên đây của Grothendieck đã làm giới toán học quốc tế biết đến nền toán học Việt Nam trong chiến tranh. Chuyến đi của Grothendieck đã mở đầu cho một loạt chuyến đi thăm và giảng bài của nhiều nhà toán học lớn đến Việt Nam, trong đó nhiều nhất vẫn là các nhà toán học Pháp: L. Schwartz, A. Martincau, P. Cartier, Y. Amice, … Có thể nói chuyến đi của Grothendieck là một cột mốc quan trọng trong lịch sử hợp tác khoa học giữa các nhà toán học Việt Nam và các nhà toán học Pháp.
Ngày nay, ở tuổi 71 (đó là năm 1999, giờ ông đã 77 tuổi rồi – ngocson52), Grothendieck sống trong trong một căn nhà nhỏ bên sườn dãy Pyrénées. Ông muốn ẩn dật, muốn xa lánh cuộc đời. Nhưng cuộc đời không bao giờ quên ông. Nền toán học thế giới không bao giờ quên ông. Và chúng ta cũng không bao giờ quên ông, người đã dùng tiếng tăm và ảnh hưởng của mình làm cho thế giới biết đến nền toán học Việt Nam ngay từ những năm chiến tranh chống Mỹ.

(Nguồn: Tạp chí Tia Sáng 7.1999)
-----------------------------------------------------------------
(1) Về A.Grothendieck, các bạn hãy xem thêm tiểu sử ông tại đây (bài của bác Polytopie): http://www.diendanto...?showtopic=2017
(2) Xem thêm bài "Ngôn ngữ phổ quát của các con số" ở đây: http://www.diendanto...p?showtopic=521

Số nguyên tố, những điều lý thú

Cặp song sinh cảm nhận được số nguyên tố
Cặp song sinh John và Michael được coi là hai người "đần độn bác học” – từ được các nhà khoa học dùng để chỉ những trường hợp bệnh nhân có các trục trực về thần kinh như tự kỷ, thiểu năng trí tuệ, nhưng lại có một khẳ năng đặc biệt trong một lĩnh vực nào đó như âm nhạc, hội họa, toán, v.v. Cả hai, năm nay đã 27 tuổi, đều có một trí nhớ tuyệt vời đối với các chi tiết của một ngày bất kỳ, hoặc những việc đã làm hoặc chứng kiến trong quá khứ. Nhưng họ còn có một khả năng đặc biệt hơn đó là nhận ra các số nguyên tố.

Trong một buổi nói chuyện với John và Michael, nhà thần kinh học Oliver Sacks làm rơi một bao diêm và ngay lập tức, cả hai anh em đều kêu lên: "111”. Sau đó, John nói:"37”, Michael cũng nói: "37” và John nhắc lại "37”. Oliver rất ngạc nhiên bèn đếm lại số diêm bị rơi và kết quả ông thu được là 111. Ông hỏi hai anh em: "Làm thế nào mà hai bạn đếm số diêm nhanh đến như vậy?” Hai anh em trả lời: "Chúng tôi không đếm. Chúng tôi đã cảm nhận được số 111”. Oliver hỏi tiếp: "Tại sao các bạn nhắc lại ba lần số 37?” Họ lại đồng thanh: "37, 37, 37, 111”.

Có trí nhớ tuyệt vời nhưng cả John và Michael đều có chỉ số IQ rất thấp (chỉ khoảng 60, so với 100 ở người bình thường) và họ còn không thể thực hiện các phép tính đơn giản như nhân, chia. Nhưng điều này không ngăn cản được họ có niềm say mê những con số vì họ cảm nhận được chúng. Trong trường hợp các que diêm bị rơi, mặc dù không hề biết số nguyên tố là gì, nhưng trong tiềm thức họ đã nhanh chóng phát hiện thấy rằng số 111 có thể được chia thành ba phần bằng nhau (37+37+37=111). Có lần, Oliver còn bắt gặp hai anh em ngồi trong một góc nhà và vui vẻ cùng nhau đọc con số gồm sáu chữ số. Sau khi kiểm tra, ông thấy đây đều là những số nguyên tố. Hôm sau, ông quyết định thử khả năng nhận biết số của John và Michael bằng cách đọc cho họ một vài con số gồm 8, 10, 12, thậm chí 20 chữ số. Sau 30 giây tập trung cao độ, cả John và Michael đều nhận ra đâu là số nguyên tố.

Vậy khi đọc một con số bất kỳ, chẳng hạn như 167 988 556 314 760 475 137, mà bạn thấy bị kích thích thì hãy thông báo ngay cho một nhà toán học. Rất có thể bạn có năng khiếu đặc biệt giống như John và Michael đấy!

Sống còn nhờ chu kỳ sống theo số nguyên tố
Hiện nay, ở miền Đông nước Mỹ có ba dòng ve sầu Magicicada có cách sống rất kỳ lạ. Sau khi giao phối, ve sầu chui xuống đất đẻ trứng vào gốc cây to rồi bỏ đi. Ấu trùng ve sầu ở lì lại đó suốt 13 hoặc 17 năm liền. Sau một thời gian dài sống nhờ rễ cây như vậy, ấu trùng nở thành ve sầu và chui lên mặt đất, cặp đôi, đẻ trứng rồi chết đi... Và thế hệ con lại tiếp tục chu kỳ 17 hoặc 13 năm của mình.

Theo một số nhà nghiên cứu, chu kỳ 13 và 17 năm (hai số nguyên tố) là yếu tố sống còn của một số loại ve sầu. Lập luận của họ như sau: chim và động vật ăn mồi thích ve sầu có chu kỳ sống khoảng 2 đên 5 năm; với chu kỳ sống 13 hoặc 17 năm, rất lâu sau ve sầu mới phải sống cùng thời gian phát triển đông nhất của kẻ thù ăn thịt mình. Ví dụ, cứ 17 x 3 = 51 năm, hoặc 13 x 5 = 65 năm thì mới trùng nhau. Như vậy, một "chu kỳ sống nguyên” giúp ve sầu giảm nguy cơ phải sống cùng kẻ thù của mình.

Để có được khả năng này, chắc chắn ve sầu phải trải qua một quá trình tiến hóa dài. Sau nhiều thế hệ, chỉ có những ve sầu có chu kỳ sống là một số nguyên tố mới có khả năng tồn tại đến ngày hôm nay.


Một con ve sầu Magicicada thoát ra khỏi bọc nhộng sau 17 năm phát triển ấu trùng

Mật mã
Trong suốt nhiều thế kỷ, kỹ thuật mã hóa dựa theo phương pháp cổ truyền: sử dụng một mật mã (có thể là một từ, một văn bản đối chiếu, một dãy số...) để bảo mật thông tin. Người nhận, được người gửi cho biết mật mã, chỉ cần áp dụng quá trình ngược lại là có thể hiểu được thông tin bị mã hóa.

Theo các chuyên gia, đây là phương pháp hai chiều, tức là sử dụng một mật mã để làm hai việc là mã hóa và giải mã. Kỹ thuật này có một nhược điểm là độ bí mật tuyệt đối của mật mã không được đảm bảo. Vì trên thực tế, người gửi phải thông báo cho người nhận mật mã thông qua một hình thức nào đó. Ví dụ, nếu ta muốn chuyển một thông tin mã hóa nào đó cho một người ở rất xa thì ta phải chuyển văn bản chứa đựng thông tin được mã hóa và mật mã cho người đó bằng thư, điện thoại, hoặc Internet và chính vì thế mật mã của bạn (không được mã hóa) sẽ dễ bị người khác biết.
Để đảm bảo độ bí mật, người ta đã áp dụng nguyên lý số nguyên tố. Như chúng ta biết, số nguyên tố rất đặc biệt vì chúng là một số nguyên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ta dễ dàng thực hiện phép nhân giữa các số nguyên tố với nhau.

Ví dụ, ai cũng có thể nhân được 319489 x 242483 = 774707470337. Nhưng quá trình ngược lại lại rất phức tạp. Ví dụ để kiểm tra xem số 267281174273 có phải là số nguyên tố hay không, ta phải mất rất nhiều thời gian với hàng loạt phép tính mới có thể phát hiện được số này là kết quả của phép nhân giữa 274177 với 974849. Mà đây mới chỉlà những số có ít chữ số. Các bạn hình dung nếu kết quả ban đầu là một số có 20, 30 hay 50 chữ số thì khối lượng các phép toán sẽ khổng lồ đến mức nào!

Ngược lại với các phương pháp hai chiều hay còn gọi là đối xứng, mô hình số nguyên tố cho phép dễ dàng mã hóa thông tin nhưng dường như là không thực hiện được quá trình ngược lại. Ví dụ, chúng ta có thể chọn hai số nguyên tó p và q bất kỳ sau đó nhân chúng với nhau để thu được kết quả N. N chính là mật mã và ai cũng có thể biết được mật mã này và sử dụng nó để khóa một thông tin ai đó gửi cho bạn nhưng không ai biết được kết quả N là phép nhân hai số p và q (hai yếu tố không thể thiếu để giải mã và chỉ có bạn biết) nên không thể đọc được thông tin mã hóa của bạn. Phương pháp này vừa dễ thực hiện mà độ bảo mật lại rất cao.

Dựa trên nguyên tắc này, các nhà lập trình và quản lý mạng máy tính đã nghĩ ra một hệ thống mã hóa đáp ứng được hai yêu cầu cơ bản là dễ sử dụng và độ bảo mật cao của các thông tin trên mạng Internet mang tên RSA (RSA là tên viết tắt của các thành viên sáng lập: Rivest, Shamir và Adleman). Năm 1991, Phil Zimmermann cũng đã nghĩ ra một phiên bản khác hiệu quả hơn đặt tên là PGP (Pretty Good Privacy). Tất cả mọi người đều có thể truy cập vào PGP thông qua Internet để khóa thông tin của mình.

Nguồn: S&V Junior (Theo Tạp chí Tia Sáng 12. 2002)
---------------------------------------------------
Các bạn có thể xem thêm bài Ứng dụng toán học trong mật mã hoá RSA tại đây: http://www.diendanto...p?showtopic=166 (ngocson52)

Phần 1: Euler và Lý thuyết Số
Nội dung chính của chương này đề cập tới số hoàn hảo. Euclid (300 BC) đã đưa ra một định lý rất quan trọng về các số hoàn hảo trong tác phẩm Elements của ông, và 20 thế kỉ sau Euler phát triển kết quả đó, và để lại rất nhiều vấn đề quan trọng chưa được giải quyết. Trong sách Những vấn đề cũ và mới chưa giải quyết trong Hình học phẳng và Lý thuyết Số (Old and New Unsolved Problems in Plance Geometry and Number Theory - 1991), Victor Klee và Stan Wagon đã nói: ìSố hoàn hảo có lẽ là vấn đề toán học xưa nhất mà chưa được hoàn chỉnh.”

Mở đầu
Tác phẩm Elements của Euclid được xem như sách hình học quan trọng nhất của người Hy Lạp xưa, nhưng rất ngạc nhiên là 3 trong số 13 chương lại được dành cho Lý thuyết Số. Điều này cho thấy một quan niệm của người Hy Lạp xưa kể từ thời của các nhà triết học theo trường phái Pythagore từ thế kỷ thứ 6 trước Công Nguyên. Các con số đối với họ không chỉ là một khái niệm toán học mà còn là những vật thể huyền bí trong Tự nhiên. Dựa trên quan niệm này, Eclid bắt đầu chương VII với 22 định nghĩa, trong đó định nghĩa cuối cùng là:
Số hoàn hảo là số có tổng các ước số dương (không kể chính nó) bằng chính số đó.
Một số ví dụ về số hoàn hảo:
6 (= 1+2+3),
28 (=1+2+4+7+14),
496 (=1+2+4+8+16+31+62+124+248),
8128 (=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064)
Nicomachus, một nhà toán học Hy Lạp vào thế kỳ đầu tiên, khi nói về sự hiếm hoi của số hoàn hảo đã viết: ìnhững điều đẹp đẽ và hoàn mỹ thì rất hiếm, … trong khi những vật xấu xa thì lại lan tràn”.
Tuy rằng định nghĩa số hoàn hảo trong chương VII, nhưng đến cuối chương IX (chương cuối cùng dành cho số học), Euclid mới đề cập lại với một định lý kinh điển:
Nếu 2^k – 1 là số nguyên tố thì 2^(k-1) x (2^k – 1) là số hoàn hảo.
(định lý CM khá dễ dàng, các bạn xem như bài tập nhỏ nhé (không dành cho các bác cao thủ về Toán đâu ))
Tầm quan trọng của định lý là đã đưa ra một quy tắc để tìm số hoàn hảo, điều này đã khiến Mersenne (1588-1648) đưa ra khái niệm số nguyên tố Mersenne (số nguyên tố có dạng 2^k – 1). Năm 1998, số nguyên tố Mersenne thứ 37 đã được đưa ra với k = 3021377, và số này có 1.8 triệu chữ số. Trong một lá thư gửi Mersenne, Rene Descartes (1596-1650) đã nói rằng mọi số hoàn hảo chẵn đều có dạng như công thức của Euclid, nhưng chưa ai tìm được chứng minh của Descartes. Và cho tới Euler …

ìRead Euler, read Euler. He is the master of us all.” – Laplace

Cuộc đời của Euler (1707-1783) được gói gọn trong thế kỉ 18: 76 năm từ mùa xuân 1707 tới mùa thu năm 1783. Cùng thời với ông còn có rất nhiều tên tuổi nổi tiếng: Benjamin Franklin (1706-1790), Washington (1732-1799), Robespierre (1758-1794), Captain Cook (1728-1779).
Leonhard Euler được sinh ra tại Basel, Thụy Sĩ. Cha ông là một giáo sĩ Tin Lành và luôn hy vọng Leonhard sẽ theo bước ông trên những bục giảng kinh. Mẹ ông cũng xuất thân từ một gia đình mục sư, vì thế chàng trai trẻ Euler dường như được sinh ra để dành cho tôn giáo.
Thuở nhỏ, Euler là cậu bé được ban tặng một tài năng đặc biệt về ngôn ngữ và một trí nhớ phi thường. Cậu còn có khả năng thực hiện những phép tính phức tạp mà không cần giấy bút. Năm 14 tuổi, Euler vào trường Đại học Basel dưới sự dẫn dắt của một giáo sư Toán nổi tiếng: Johann Bernoulli (1667-1748). Từ năm 1721, Bernoulli được xem như là nhà toán học giỏi nhất thời bấy giờ (Leibniz đã mất vài năm trước, Newton đã từ bỏ Toán học vì tuổi tác). Bernoulli – một người rất ít khi khen ngợi người khác – đã từng viết cho Euler: ìTôi trình bày các phép tích phân như một sự khởi đầu, nhưng chính cậu là người đã đưa nó đến sự trưởng thành.” Tại Đại học, Euler không chỉ học Toán mà còn phải học Thần học, viết về Lịch Sử của Luật và hoàn tất bằng Thạc sỹ về Triết học. Nhưng vì lòng đam mê Toán học, ông đã quyết định rời bỏ khoa Thần học và trở thành một nhà toán học.
Năm 20 tuổi, Euler trở nên nổi tiếng qua các kì thi khoa học quốc tế. Năm 1727, Euler tới học viện St. Petersburg theo lời mời của Daniel Bernoulli (1700-1782) (con trai của Johann Bernoulli), và tham gia cùng Daniel trong các cuộc thảo luận về Vật lý và Toán học. Vào năm 1733, Daniel rời khỏi học viện và để lại một vị trí quan trọng mà không lâu sau Euler được bổ nhiệm vào. Không lâu sau, Euler cưới Kathariana Gsell - con gái một họa sỹ và sau hơn bốn mươi năm chung sống, 13 ìEuler con” đã chào đời.
Một trong những thành công ban đầu của Euler là lời giải cho bài toán Basel – một vấn đề hóc búa đã làm đau đầu các nhà toán học của thế kỉ trước. Năm 1644, bài toán Basel được đưa ra bởi Pietro Mengoli (1625-1686) với yêu cầu tìm ra giá trị chính xác của tổng: (1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/k^2 + … ). Những kết quả xấp xỉ cho thấy tổng trên gần bằng 8/5. Tuy nhiên, kết quả chính xác vẫn nằm trong ìvùng tối” cho tới năm 1735, Euler đưa ra đáp án gây ngạc nhiên cho các nhà toán học: pi^2/16. Tiếp theo đó, các bài báo của ông (papers) cứ lần lượt được xuất bản thông qua tạp chí khoa học của học viện St. Petersburg. Trong một số ấn phẩm, một nửa các bài báo xuất bản thuộc về Euler.
Thời gian Euler ở St. Petersburg sẽ là một cuộc sống trong thiên đường Toán học nếu như ông không gặp phải một số khó khăn khá lớn. Thứ nhất, sự rối loạn chính trị trong nước Nga sau cái chết bất ngờ của Catherine I đã gây nên một sự xôn xao trong giới học viện về vị trí của Euler khi Học viện này chỉ có các nhà khoa học người Nga. Tiếp theo đó là sự không thoải mái của Euler khi Học viện được điều hành bởi một quan chức luôn tìm cách kiềm chế tài năng khoa học. Vấn đề thứ ba là sự suy giảm thị lực nghiêm trọng của Euler: năm 1738 (31 tuổi) ông đã bị mù mắt bên phải, tuy nhiên ông đã không để điều này làm ảnh hưởng tới các hoạt động nghiên cứu của mình. Ông tiếp tục viết các bài báo về thiết kế tàu, âm học, và lý thuyết về hòa âm. Được sự động viên của bạn ông - Christian Golbach (1690-1764), Euler đã đưa ra các kết quả trong Lý thuyết số, và Số học Giải tích, và đặt nền móng cho Toán Tổ hợp. Trong thời gian này, Euler đã viết tác phẩm Mechanica trình bày các định luật chuyển động của Newton dưới dạng Toán giải tích. Do đó Mechanica được đánh giá là một bước ngoặt lớn trong lịch sử Vật lý.
Với những thành quả như thế, tiếng tăm của Euler đã khiến Hoàng đế nước Phổ -Frederick Đại Đế - (1712-1786) mời ông vào Học viện Berlin. Bởi vì tình hình chính trị bất ổn ở Nga (mà Euler đã miêu tả rằng: ìmột đất nước nơi mỗi người phát biểu ý kiến đều bị treo cổ”), Euler đã cùng gia đình chuyển sang Đức vào năm 1741. Trong thời gian ở Đức, Euler đã xuất bản 2 tác phẩm nổi tiếng nhất của ông: Introductio in analysin infinitorum (1748) và Institutiones calcul differentialis (1755), với khám phá ra số phức, đẳng thức Euler: e^(ia) = cosa + i sina, và một chứng minh cho định lý cơ bản của đại số.
Tại Berlin, Euler đã được mời giảng thuyết các vấn đề khoa học phổ thông cho Quận chúa Anhalt Dessau. Kết quả là một tác phẩm lớn bao gồm nhiều tập, liên tục được xuất bản dưới dạng những lá thư giảng giải cho Quận chúa: Những bức thư gửi Quận chúa (Letters of Euler of Different Subjects in Natural Philosophy Addressed to a German Princess). Tuyển tập này bao gồm hơn 200 ìlá thư” giới thiệu các chủ đề rất đa dạng như ánh sáng, âm thanh, trọng lực, logic, ngôn ngữ, từ trường, và thiên văn học. Những bức thư gửi Quận chúa ngay lập tức trở nên nổi tiếng và được dịch ra rất nhiều ngôn ngữ, cuối cùng nó đã trở thành tác phẩm được đọc nhiều nhất của Euler.
Mặc dù đã xa nước Nga, từ Đức Euler vẫn tiếp tục làm chủ bút cho tạp chí khoa học của St. Petersburg và xuất bản nhiều bài báo cho tạp chí. Bên cạnh những nghiên cứu toán học, ông còn đảm trách nhiều nhiệm vụ về quản lý tại Học viện Berlin như một người quản lý (không chính thức). Tuy nhiên, Frederick Đại đế là một người tự cao và coi khinh những học giả lớn thời bấy giờ; thêm vào đó là sự bất hòa giữa ông và Voltaire tại Học viện Berlin. Những điều này đã khiến Euler bị mất vị trí tại Học viện, sau đó ông quyết định trở lại Học viện St. Petersburg do tình hình chính trị tại Nga đã có những chuyển biến tốt đẹp.
Mặc dù sự nghiên cứu khoa học của ông đạt những thành quả rất tốt đẹp, trong một vài năm ông đã gặp 2 biến cố bất hạnh. Năm 1771, ông đã bị mù hoàn toàn khi con mắt còn lại cũng không thể được cứu chữa. 2 năm sau, Katharina qua đời. Những biến cố này đã báo hiệu dấu chấm hết cho những năm nghiên cứu miệt mài của ông. Tuy nhiên, Euler vẫn tiếp tục xuất bản một bài báo một tuần. Trong những năm tháng mù lòa, ông đã viết một quyển sách về đại số, một luận án dài 775 trang về chuyển động của mặt trăng, và 3 tập sách dày phát triển những kết quả về tích phân. Những năm cuối đời ông đã đưa ra các nghiên cứu quan trọng về thiên văn học như hoạt động của sao Thiên Vương, những phương trình về quỹ đạo giúp các nhà thiên văn học tìm ra sao Hải Vương.
Năm 1783, trong một buổi chiều thứ bảy bận rộn như mọi ngày, Euler đã qua đời trong một cơn xuất huyết. Gia đình, đồng nghiệp, Học viện, và cả cộng đồng khoa học an táng thi hài ông tại St. Petersburg và thương tiếc đưa tiễn ông về nơi an nghỉ cuối cùng.

Gửi các thành viên Diễn đàn Toán học

Mặc dù trên Nội quy của Diễn đàn Toán học đã nói về việc phải tôn trọng tác giả bài viết khi lấy bài từ các nguồn khác nhưng tôi xin nói rõ hơn về việc này, vì gần đây trong diễn đàn xuất hiện nhiều bài viết sưu tầm nhưng người gửi lại chưa tuân thủ một cách đúng mực những quy định đã đề ra.

Thay mặt BQT diễn đàn, tôi xin thông báo tới tất cả thành viên: Tất cả các bài viết lấy từ các báo (trang web) khác nhưng lại không ghi rõ nguồn sẽ bị xóa (Nếu là thành viên lần đầu vi phạm sẽ nhắc nhở, edit lại bài viết; tái phạm sẽ xóa bài đó ngay). Đây không phải là BQT khắt khe, mà là việc làm cần thiết, vì:

1) Đó là sự tôn trọng công sức lao động của người khác;
2) Đó là một đức tính cần có của những người làm khoa học chân chính.

Hiện nay các bài viết hay từ NET và các báo khác quá nhiều, không người nào có đủ thời gian (và trình độ) để kiểm tra xem 1 bài viết của thành viên có phải lấy ở đâu hay không. Vì vậy quan trọng là mỗi thành viên hãy nghiêm túc tự giác thực hiện điều đó, chúng ta hãy tôn trọng công sức lao động của người khác, và quan trọng hơn, chúng ta nên tập cho mình tác phong làm việc nghiêm túc.
Hẳn các bạn còn nhớ việc nhóm iCMS đã giành giải nhất cuộc thi TTVN năm 2003 nhưng năm 2004 thì bị thu hồi giải thưởng và danh hiệu vì đã sử dụng ý tưởng của người khác mà không xin phép tác giả, cũng như không ghi chú gì.

Vấn đề là: ghi chú thế nào thì gọi là ìđủ” ?

Xin các bạn lưu ý hãy ghi đầy đủ tên tác giả, địa chỉ trang web (số báo), nếu có thể hãy để lại cả link bài viết.
Tôi thấy thí dụ, nếu bạn tình cờ đọc được bài viết ở bên dưới ghi ìLong Sơn (CNN)” thì các bạn biết đó là đâu, người tên ìLong Sơn” thì thiếu gì? Hãy ghi đầy đủ, chẳng hạn, ìLong Sơn (theo CNN), diendantoanhoc.net”, dĩ nhiên là mỗi người có một cách ghi, miễn sao ghi đầy đủ người viết, tên trang web, tên nguồn tài liệu dịch là được. Đó là chưa kể một số trang web rất khắt khe trong việc này: ngay cả ghi cả đầy đủ như thế mà chưa xin phép họ thì họ cũng không chấp nhận (sẽ thông báo sau). Tuy nhiên đó chỉ là số ít, còn lại đa số họ đều cho phép chúng ta sử dụng bài viết với mục đích phổ biến kiến thức đến nhiều người hơn.

Thân mến,

17
Vẫn còn lại một điểm từ phần 11, khi tôi bắt đầu sự so sánh giữa "toán học thực sự" và cờ vua. Giờ đây chúng ta đã có thể chấp nhận rằng về mặt nội dung, sự quan trọng và thiết yếu thì các định lý toán học thực sự có lợi thế hơn hẳn. Cũng hoàn toàn hiển nhiên với bất cứ một người có hiểu biết nào, toán học hơn hẳn nhờ vẻ đẹp của mình; nhưng lợi thế này cũng khó định nghĩa và phân loại hơn rất nhiều, vì điểm thiếu xót chủ yếu của một ván cờ đơn giản chỉ là "sự tầm thường" của nó, và sự tương phản trong điều này làm trộn lẫn và ảnh hưởng bất kỳ đánh giá thẩm mỹ thuần túy nào. Dựa vào quan điểm "thẩm mỹ thuần túy" nào liệu ta có thể phân biệt giữa định lý của Euclid và định lý của Pythagoras? Tôi sẽ không mạo hiểm hơn chỉ với một vài nhận xét rời rạc nữa.

Trong các định lý (và khi nói tới các định lý, tất nhiên tôi đã gộp cả những lời giải của chúng), luôn có một tính bất ngờ lớn, kết hợp với một sự chắc chắn xảy ra và ngắn gọn. Các lập luận, một cách khó hiểu và ngạc nhiên, tạo thành một thể thống nhất; những vũ khí sử dụng dường như vô cùng đơn giản khi so sánh với những kết quả có ảnh hưởng sâu rộng nhưng lại không có một lối thoát nào có thể ra khỏi kết luận của bài toán. Nội dung cũng không phải là khó - một dòng để tấn công đã là đủ trong mỗi trường hợp; và điều này cũng đúng trong nhiều lời giải của rất nhiều những định lý khó hơn nhiều, mà sự đánh giá đầy đủ của chúng đòi hỏi việc thành thạo trong các kỹ thuật rất lớn. Chúng ta không muốn nhiều "dạng khác nhau" trong lời giải của một định lý toán học: "Một sự liệt kê các trường hợp" thực sự là một kiểu nhàm chán của một lập luận toán học. Một lời giải toán học cần phải giống một chùm sao đơn giản và rõ ràng, không phải là một chùm các mảnh vỡ trong dải ngân hà.

Một ván cờ cũng có tính chất bất ngờ và một sự kinh tế nhất định; việc các nước dy chuyển phải bất ngờ và mọi quân cờ trên bàn đều có vai trò của nó là một việc rất quan trọng. Nhưng hiệu ứng thẩm mỹ thì được dồn lại. Cũng như vậy, mỗi nước đi phải kéo theo một loạt các biến thể đẹp, mỗi biến thể phải có câu trả lời của riêng nó (trừ phi ván cờ quá đơn giản để mang tính bất ngờ). "Nếu P-B5, sau đó Kt-R6; nếu ... thì ...; nếu ... thì ..." - hiệu quả của nó sẽ mất đi nếu không có những nhiều những câu trả lời khác nhau. Tất cả những điều này là toán học, và có giá trị của nó; nhưng nó chỉ là "một lời giải bằng cách liệt kê các trường hợp" (và của những trường hợp không khác một cách sâu sắc lắm (*), điều mà một nhà toán học thực thụ thường không thích.

Tôi vẫn bám vào suy nghĩ rằng tôi có thể làm mạnh hơn lập luận của tôi bằng cách trình bày cảm nghĩ của mình với những người chơi cờ hẳn hoi. Chắc chắn là một kiện tướng cờ, người đã từng chơi những ván cờ và những trận đấu lớn, sẽ khinh miệt một môn nghệ thuật thuần tuý toán học. Anh ta có quan điểm của riêng mình, và có thể trả lời ngay khi được hỏi: "Nếu anh ta đã đi nước này hay nước này, thì tôi đã có thể thắng bằng cách này hay cách này trong đầu". Nhưng một "ván cờ lớn" hoàn toàn là vấn đề tâm lý, một cuộc tranh chấp giữa một người trong nghề với một người khác, và không chỉ là kết hợp của nhiều định lý toán học nhỏ.

(*) Tôi tin rằng bây giờ một ván cờ được coi là giá trị nếu nó chứa đựng nhiều biến thể cùng một dạng.

16
(madness dịch)
Tính chất thứ hai mà tôi đòi hỏi trong một ý tưởng quan trọng là chiều sâu, và tính chất này càng khó định nghĩa hơn. Nó liên hệ với độ khó theo một cách nào đó; ý tưởng càng ìsâu” càng khó tiếp nhận hơn: nhưng chúng không hoàn toàn giống nhau. Ý tưởng ẩn dưới định lý Pythagoras và những hướng tổng quát của nó khá sâu, nhưng không một nhà toán học thời nay nào lại xem chúng là khó. Mặt khác, một định lý có thể nông cạn về bản chất nhưng lại rất khó chứng minh (ví dụ như những định lý Diophante về lời giải của các phương trình nghiệm nguyên).

Dường như các ý tưởng toán học được sắp xếp theo nhiều tầng, trong mỗi tầng, các ý tưởng được liên kết với nhau bằng những quan hệ phức tạp giữa chúng và với các ý tưởng ở tầng khác. Càng ở tầng thấp hơn, các ý tưởng càng sâu hơn (và thông thường, càng khó hơn). Do đó, ý tưởng về ìsố vô tỷ” sâu hơn ý tưởng về số nguyên; và định lý Pythagoras vì thế mà sâu hơn định lý Euclid.

Chúng ta hãy chú ý tới mối quan hệ giữa các số nguyên, hay một nhóm các đối tượng nằm trong một tầng nào đó. Khi ấy một trong những liên hệ có thể được hiểu hoàn toàn, chúng ta có thể nhận ra và chứng minh, chẳng hạn như, một tính chất nào đó của số nguyên, mà không cần dùng tới nội dung của tầng bên dưới. Do đó chúng ta chứng minh định lý Euclid mà chỉ dùng các tính chất của số nguyên. Nhưng còn nhiều định lý về số nguyên mà chúng ta không thể hiểu được hay chứng minh được hoàn toàn mà không cần đào sâu hơn và xem xét những gì xảy ra bên dưới.

Chúng ta có thể dễ dàng tìm các ví dụ trong lý thuyết về số nguyên tố. Định lý Euclid rất quan trọng, nhưng không sâu: chúng ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố mà không cần dùng khái niệm nào sâu hơn ìtính chia hết”. Nhưng những câu hỏi mới lại xuất hiện khi chúng ta tìm ra câu trả lời trước. Có vô số số nguyên tố, nhưng chúng được phân bố vô hạn như thế nào? Cho một số N rất lớn, ví dụ 10^80 hay 10^{10^10} , có bao nhiêu số nguyên tố bé hơn N (**)? Khi đặt ra những câu hỏi này, chúng ta đã đặt chúng ta ở một vị trí hoàn toàn khác. Chúng ta có thể trả lời chúng, với một độ chính xác đáng ngạc nhiên, nhưng bằng cách đào thật sâu bên dưới, để lại các số nguyên bên trên và sử dụng những vũ khí mạnh nhất trong lý thuyết hiện đại về hàm số. Do đó định lý trả lời những câu hỏi của chúng ta (được gọi là ìĐịnh lý số nguyên tố”) là một định lý sâu hơn rất nhiều so với Pythagoras và Euclid.

Tôi có thể làm tăng thêm các ví dụ, nhưng khái niệm về ìchiều sâu” rất khó nắm bắt, ngay cả đối với một nhà toán học đã nhận ra nó, và tôi không nghĩ rằng tôi có thể nói gì hơn nữa để giúp bạn đọc hiểu hơn.

http://diendantoanho...lt/beerchug.gif Người ta cho rằng số proton trong vũ trụ là khoảng 10^80. Số 10^{10^10} nếu viết ra sẽ chiếm khoảng 50,000 cuốn sách kích cỡ trung bình.
(**) Như tôi đã nói trong chương 14, có khoảng 50,847,478 số nguyên tố nhỏ hơn 1,000,000,000; nhưng đây là mức xa nhất mà chúng ta có thể biết chính xác.

15
"Sự tổng quát" là một từ mơ hồ và hơn thế nữa khá nguy hiểm, và chúng ta phải cẩn thận tránh không để nó chi phối cuộc thảo luận của chúng ta quá nhiều. Nó được dùng trong nhiều ngữ cảnh cả trong toán học và những bài viết về toán học, và nói riêng thì một trong số đó đã được các nhà lô gíc đặt một sự quan tâm rất lớn nhưng hoàn toàn không liên quan gì đến những gì chúng ta nói ở đây. Theo nghĩa đơn giản đó thì tất cả các định lý toán học là hoàn toàn "tổng quát" và tổng quát như nhau.

"Sự chính xác của toán học", nói như Whitehead , "phụ thuộc vào sự tổng quát hóa trừu tượng đầy đủ của nó". Khi chúng ta khẳng định rằng 2 + 3 = 5, chúng ta đang khẳng định một mối quan hệ giữa ba nhóm "đối tượng"; và các "đối tượng" này không phải là những quả táo hay những đồng xu, hay bất kỳ một loại đối tượng riêng biệt nào, mà chỉ đơn giản là các đối tượng, "bất kỳ đối tượng nào". Ý nghĩa của khẳng định này hoàn toàn phụ thuộc vào các cá thể của các phần tử của các nhóm. Tất cả các "đối tượng", hay "thực thể", hay "quan hệ" toán học như "2", "3", "5", "+", hay "=", và tất cả các mệnh đề toán học theo thứ tự chúng xuất hiện đều hoàn toàn tổng quát, theo nghĩa hoàn toàn trừu tượng. Thực tế, một trong những từ của Whitehead là không cần thiết, vì sự tổng quát theo nghĩa này chính là sự trừu tượng.

Ý nghĩa này là rất quan trọng, và các nhà lô gíc đã khá đúng khi nhấn mạnh nó, vì nó chứa đựng một chân lý mà nhiều người lẽ ra nên biết lại thường quên mất. Nó khá là phổ biến, ví dụ như, cho một nhà thiên văn học hay một nhà vật lý tuyên bố rằng anh ta đã tìm ra "một chứng minh toán học" rằng vũ trụ phải theo một trạng thái riêng biệt nào đó. Tất cả những khẳng định này, nếu được dịch một cách chính xác, đều hoàn toàn vô nghĩa. Đơn giản là việc chứng minh toán học rằng ngày mai sẽ có nhật thực là không thể, vì nhật thực, hay các hiện tượng vật lý khác, không cấu thành một phần nào của thế giới trừu tượng của toán học; và điều này tôi cho rằng, tất cả các nhà thiên văn sẽ công nhận khi bị hỏi, bất kể bao nhiêu nhật thực mà họ đã dự đoán đúng.

Rõ ràng là chúng ta không quan tâm đến kiểu "tổng quát" như thế này bây giờ. Chúng ta đang tìm kiếm sự khác biệt của tổng quát giữa một định lý toán học với một định lý khác, và theo nghĩa của Whitehead tất cả đều bằng nhau. Do đó các định lý "tầm thường" (a) và (b) của phần 15 chỉ đơn giản "trừu tượng" hay "tổng quát" như những định lý của Euclid và Pythagoras, và cũng như một ván cờ vua. Sẽ không có sự khác biệt nào cho một ván cờ nếu các quân là trắng và đen, hay đỏ và xanh, hay nếu có các "quân cờ" thực sự; nó vẫn là một bài toán giống hệt mà một chuyên gia dễ dàng suy nghĩ trong đầu và chúng ta phải thiết kế lại với nhiều công sức và sự trợ giúp của chiếc bảng đen. Chiếc bảng và các quân cờ chỉ đơn giản là các công cụ để kích thích trí tưởng tượng của chúng ta, và với một bài toán nó không quan trọng như chiếc bảng đen và viên phấn đối với các định lý trong một buổi giảng toán học.

Kiểu tổng quát quen thuộc trong tất cả các định lý toán học này không phải là thứ mà chúng ta kiếm tìm, mà là sự tổng quát tinh tế và khó nắm bắt tôi đã cố miêu tả trong phần 15. Và chúng ta phải cẩn thận không quá nhấn mạnh ngay cả trong sự tổng quát loại này (như tôi nghĩ các nhà lô gíc học như Whitehead thường hay vậy). Những thành tựu tiêu biểu của toán học hiện đại không chỉ đơn giản là "chất đống những sự tổng quát này một cách tinh tế trên những sự tổng quát khác " (**). Một ít sự tổng quát phải xuất hiện trong bất cứ một định lý kinh điển nào, nhưng quá nhiều sẽ dẫn đến sự vô vị một cách không tránh khỏi. "Mọi vật chỉ đơn giản là nó, và không phải là một vật khác", và sự khác biệt giữa các sự vật cũng thú vị như sự giống nhau của chúng. Chúng ta không chọn bạn bè bởi vì họ hội tụ đủ các phẩm chất tốt đẹp của con người, mà bởi họ là những người của chính họ. Và trong toán học cũng vậy; một tính chất phổ biến với quá nhiều đối tượng khó có thể còn tính hấp dẫn, và các ý tưởng toán học cũng trở nên lờ mờ trừ phi chúng có rất nhiều cá thể riêng biệt. Ở đây dù sao tôi cũng có thể trích dẫn Whitehead về phía tôi: "một sự thai nghén thành công là sự tổng quát hóa rộng, nhưng giới hạn bởi một cá thể". (***)

http://diendantoanho...lt/beerchug.gif Khoa học và thế giới hiện đại, trang 33
(**) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 44
(***) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 46

14

madness dịch)
Một định lý ìnghiêm túc” là một định lý chứa đựng các ý tưởng ìquan trọng”, và tôi cho rằng tôi cần phân tích kỹ hơn những đặc tính làm cho một ý tưởng toán học trở nên quan trọng. Điều này rất khó, và không chắc rằng tôi có thể đưa ra một sự phân tích nào thật sự có giá trị. Chúng ta có thể nhận ra một ý tưởng ìquan trọng” khi chúng ta thấy nó, cũng như chúng đã xuất hiện trong hai định lý mà tôi đã đưa ra; nhưng khả năng nhận biết này đòi hỏi một mức độ phức tạp cao, và sự quen thuộc với các ý tưởng toán học mà chỉ đến sau nhiều năm nghiên cứu. Vì thế tôi phải thử nghiệm một cách phân tích nào đó; và dù không đầy đủ, nó phải hợp lý và dễ hiểu khi được đưa ra. Có hai tính chất mà lúc nào cũng cần thiết, một mức độ tổng quát và một độ sâu nhất định; nhưng không đặc tính nào có thể được định nghĩa chính xác hoàn toàn một cách dễ dàng.

Một ý tưởng toán học quan trọng, một định lý toán học nghiêm túc phải ìtổng quát” theo nghĩa sau. Ý tưởng phải là sự hợp thành từ nhiều cấu trúc toán học và được dùng trong các chứng minh của nhiều loại định lý khác nhau. Định lý dù ban đầu được phát biểu (như định lý Pythagoras) theo một dạng khá đặc biệt, nhưng phải có khả năng mở rộng đáng kể và tiêu biểu cho một lớp các định lý cùng loại. Mối tương quan thể hiện qua định lý phải kết nối nhiều ý tưởng toán học quan trọng. Tất cả các điều trên đều không rõ ràng và tùy thuộc vào nhiều yếu tố định trước. Nhưng chúng đủ dễ dàng để nhận ra một định lý không hẳn là nghiêm túc khi nó thiếu các đặc tính trên một cách rõ ràng; chúng ta chỉ cần lấy ra một số ví dụ từ các tính chất đặc biệt trong số học. Tôi đưa ra hai ví dụ, hầu như ngẫu nhiên, từ cuốn Giải trí Toán học của Rouse Ball *.

(a) 8712 và 9801 là hai số có bốn chữ số duy nhất mà là bội số của các ìsố đảo ngược” của chính chúng.
8712 = 4 . 2178, 9801 = 9 . 1089,
và không còn số nào khác bé hơn 10,000 có tính chất này.

(b) Chỉ có bốn số bằng tổng của lập phương các chữ số của chúng, đó là
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3, 370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3, 407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

Đó là những sự thật lạ kỳ, rất thích hợp cho các câu đố toán học và hấp dẫn những người nghiệp dư, nhưng chúng không có gì để lôi cuốn một nhà toán học. Chứng minh không khó hay thú vị - chỉ đơn thuần là một chút mệt nhọc. Định lý không nghiêm túc; và có lẽ một lý do (dù không hẳn là quan trọng nhất) là tính đặc biệt quá mức của cả đề bài lẫn chứng minh, mà điều này không thể tạo ra một sự tổng quát quan trọng nào.

* Ấn bản thứ 11, 1939 (sửa chữa bởi H.S.M. Coxeter)

13
(madness dịch)
Trước hết, sự thống trị của các định lý toán học trong tính nghiêm túc là hiển nhiên và quá lớn lao. Một thế cờ là tổng hợp của các bước đi thông minh nhưng rất hạn chế trong độ phức tạp của ý tưởng, về cơ bản chúng thường không khác nhau là mấy và không có ảnh hưởng gì bên ngoài. Chúng ta có thể đặt trong trường hợp như cờ vua chưa bao giờ được khám phá ra, trong khi đó các định lý của Euclid và Pythagoras đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến cách suy nghĩ, thậm chí cả bên ngoài toán học.

Cũng như vậy định lý của Euclid là thiết yếu cho toàn bộ cấu trúc của số học. Số nguyên tố là những yếu tố cơ bản từ đó chúng ta xây dựng nên lý thuyết số, và định lý Euclid đảm bảo rằng chúng ta có vô số các yếu tố cơ bản để làm việc đó. Nhưng định lý của Pythagoras còn có ứng dụng rộng lớn hơn và cung cấp một kết quả tốt hơn.

Đầu tiên chúng ta nên thấy rằng lập luận của Pythagoras có thể mở rộng ra xa hơn nữa, và có thể được áp dụng, với rất ít thay đổi về nguyên tắc, cho một lớp lớn các số "vô tỷ". Chúng ta có thể chứng minh một cách tương tự rằng (như Theodorus có lẽ đã làm)
√‾3, √‾5, √‾7, √‾11, √‾13, √‾17
là vô tỷ, hay (đi xa hơn so với Theodorus) rằng 3√‾2, 3√‾17 cũng là vô tỷ .

Định lý Euclid cho chúng ta biết rằng chúng ta có những yếu tố cơ bản để xây dựng nên một hệ thống chặt chẽ các số nguyên. Định lý Pythagoras và những mở rộng của nó còn chứng tỏ rằng khi ta đã cấu tạo nên hệ thống số này, điều đó vẫn còn chưa đủ, vì vẫn còn rất nhiều độ dài buộc chúng ta phải chú ý vì chúng không thể đo được; đường chéo của một hình vuông là một ví dụ rõ ràng nhất. Sự quan trọng sâu sắc của phát hiện này đã được nhận ra bởi các nhà toán học Hy Lạp. Họ đã bắt đầu bằng cách giả sử (thêm vào đó, tôi cho rằng, là ảnh hưởng ìtự nhiên” của ìtrực quan”) tất cả các độ dài cùng đơn vị đều có thể đo được, rằng bất cứ hai độ dài nào cũng là bội số của một đơn vị chung, và họ đã xây dựng một lý thuyết về tỷ lệ dựa trên giả định này. Phát hiện của Pythagoras đã chỉ ra sự vô lý của cơ sở này, và dẫn tới việc xây dựng một lý thuyết sâu sắc hơn của Eudoxus, được nêu ra trong cuốn thứ năm của bộ Elements, bộ sách được các nhà toán học đánh giá là thành tựu vĩ đại nhất của nền toán học Hy Lạp. Lý thuyết này chứa đựng một tư tưởng hiện đại đáng ngạc nhiên, và có thể được xem như sự khởi đầu của lý thuyết hiện đại về các số vô tỷ, điều này đã tạo ra một cuộc cách mạng cho giải tích toán học, và có nhiều ảnh hưởng hơn đến nền triết học hiện tại.

Không còn nghi ngờ gì về tính ìnghiêm túc” của hai định lý trên. Do đó tốt hơn là ta chú ý rằng không có định lý nào trong chúng có một ý nghĩa thực tiễn dù nhỏ nhất. Trong các ứng dụng thực tiễn chúng ta chỉ quan tâm tới các số nhỏ vừa phải; chỉ có ngành thiên văn học nghiên cứu các vì sao và vật lý nguyên tử liên quan tới các số ìlớn”, và chúng có rất ít ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn nào khác ngoại trừ trong toán học trừu tượng thuần túy nhất. Tôi không biết độ chính xác cao nhất mà một kỹ sư cho là cần thiết – chúng ta sẽ rất hào phóng nếu đưa ra mười chữ số quan trọng. Khi đó
3,14159265
(giá trị của ∏ với tám chữ số thập phân) là tỷ số
314159265 / 1000000000
của hai số với mười chữ số. Số các số nguyên tố bé hơn 1.000.000.000 là 50.847.478: điều này là đủ đối với một kỹ sư và anh ta hoàn toàn hạnh phúc với chúng mà không cần những con số còn lại. Định lý Euclid là dư thừa; và đối với định lý Pythagoras, rõ ràng là các số vô tỷ đều không hấp dẫn đối với một kỹ sư, vì anh ta chỉ quan tâm tới các xấp xỉ, mà các xấp xỉ đều là số hữu tỷ.

http://diendantoanho...lt/beerchug.gif Xem chương IV cuốn "Introduction to the Theory of Numbers" của Hardy và Wright, về những bàn luận các hướng tổng quát khác nhau trong lý luận của Pythagoras, và một câu hỏi lịch sử về Theodorus.

12
(madness dịch)
2. Ví dụ thứ hai của tôi là chứng minh của Pythagoras về ìtính vô tỷ” của √‾2.

Một ìsố hữu tỷ” là một phân số có dạng a/b, trong đó a, b là những số nguyên; chúng ta có thể giả sử a, b không có ước số chung, vì nếu có thì ta có thể giản ước nó. Nói ì√‾2 là một số vô tỷ” đơn thuần là một cách diễn đạt khác tương đương với ì2 không thể biểu diễn dưới dạng (a/b)^2”; và điều này cũng có nghĩa là phương trình
(B) a^2 = 2b^2
không thể thỏa mãn với các giá trị nguyên của a và b mà không có ước số chung nào. Đây là một định lý của số học thuần túy mà không đòi hỏi bất kì kiến thức nào về các ìsố vô tỷ” hay một lý thuyết nào về bản chất của chúng.

Chúng ta lại lý luận bằng phương pháp phản chứng; chúng ta giả sử rằng (B) có nghiệm, với a và b là các số nguyên không có ước số chung. Từ (B) có thể suy ra a^2 là số chẵn (vì 2b^2 chia hết cho 2), và do đó a là số chẵn (vì bình phương của một số lẻ là số lẻ). Vì a là số chẵn nên
(C) a = 2c
với c là một số nguyên; và do đó
2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2
hay
(D) b^2 = 2c^2
Suy ra b^2 là số chẵn, cho nên (cùng một lý do như trên) b là số chẵn. Ta có thể nói a và b cùng là số chẵn, và vì thế có cùng ước số chung 2. Điều này trái với giả định của chúng ta, do đó giả định trên là sai.

Từ định lý Pythagoras ta suy ra đường chéo của một hình vuông không thể so sánh với cạnh của chính nó (tỷ lệ độ dài của chúng không phải là số hữu tỷ, không có độ dài nào là bội số chung của cả hai độ dài trên). Vì nếu ta cho độ dài của cạnh bằng một đơn vị, thì độ dài của đường chéo là d, theo một công thức rất quen thuộc, cũng của Pythagoras*,
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2,
do đó d không thể là số hữu tỷ.

Tôi có thể đưa ra bất kỳ một số lượng nào về các định lý đẹp trong lý thuyết số mà mọi người có thể hiểu ý nghĩa của chúng. Ví dụ, có một định lý được gọi là ìđịnh lý cơ bản của số học” phát biểu rằng bất kỳ số nguyên nào đều có thể phân tích, bằng một cách duy nhất, thành tích của các số nguyên tố. Do đó 666 = 2.3.3.37, và không có cách phân tích nào khác; không thể là 666 = 2.11.19 hay 13.89 = 17.73 (và chúng ta có thể thấy điều này mà không cần tính các tích trên). Định lý này, như tên gọi của nó, là cơ sở của số học cao cấp hơn, nhưng chứng minh, dù không ìkhó”, đòi hỏi một số lượng kiến thức dẫn nhập nhất định và có thể làm mệt mỏi những độc giả không chuyên.

Một định lý đẹp và nổi tiếng khác là định lý ìhai số chính phương” của Fermat. Các số nguyên tố (nếu chúng ta bỏ qua số nguyên tố đặc biệt 2) đều có thể được sắp xếp thành 2 nhóm; các số nguyên tố
5, 13, 17, 29, 41, …
khi chia 4 cho số dư là 1, và các số nguyên tố
3, 7, 11, 19, 23, 31, …
khi chia 4 cho số dư là 3. Tất cả các số nguyên tố trong nhóm đầu tiên, và không có số nguyên tố nào trong nhóm thứ hai, có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bình phương của 2 số nguyên: do đó
5 = 1^2 + 2^2, 13 = 2^2 + 3^2,
17 = 1^2 + 4^2, 29 = 2^2 + 5^2;
nhưng 3, 7, 11, và 19 đều không thể biểu diễn theo cách này (độc giả có thể tự kiểm chứng dễ dàng). Đây là định lý của Fermat mà có thể được đáng giá một cách rất thỏa đáng là một trong những định lý đẹp nhất của số học. Tiếc rằng không có chứng minh nào có thể hiểu được bởi những người không phải là các nhà toán học chuyên nghiệp.

Còn có những định lý đẹp khác trong ìlý thuyết tập hợp” (Mengenlehre) như định lý Cantor về ìtính không đếm được” của lực lượng continuum. Chứng minh trở nên dễ dàng một khi ngôn ngữ được nắm vững, nhưng một số lượng giải thích đáng kể trở nên cần thiết trước khi ý nghĩa của định lý trở nên rõ ràng. Vì thế tôi sẽ không cố gắng đưa thêm các ví dụ khác. Những định lý tôi đã dẫn chứng là những trường hợp tiêu biểu, và một độc giả nào không hiểu rõ giá trị của chúng thì sẽ không thể đánh giá đúng về bất kỳ điều gì trong toán học.

Tôi từng nói rằng nhà toán học là người vẽ nên các khuôn mẫu của ý tưởng, vẻ đẹp và tầm quan trọng là những tiêu chuẩn mà dựa trên đó những khuôn mẫu được đánh giá, tôi khó có thể tin là bất kỳ một ai hiểu được hai định lý trên lại có thể phản đối rằng chúng thỏa mãn những tính chất này. Nếu chúng ta so sánh chúng với những câu đố tinh xảo nhất của Dudeney, hay những ván cờ đẹp nhất mà những bậc thầy của nghệ thuật đó đã tạo ra, sự ưu việt trong cả hai tính tính chất đều nổi trội lên: có một sự khác biệt không thể nhầm lẫn được về đẳng cấp. Chúng quan trọng hơn, và cũng đẹp hơn; liệu chúng ta có thể định nghĩa, một cách chính xác hơn, vị trí của sự ưu việt đó?