ht2pro102

$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=1 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}y^{2}$
$\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{y^{2}-1}=\sqrt{xy+2} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2+2\sqrt{(x^{2}-1)(y^{2}-1)}=xy+2$
Mà:$(x^{2}-1)(y^2-1)=x^2y^2-y^2-x^2+1=1$
$\Rightarrow x^2y^2-2+2\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}=xy+2 \Leftrightarrow x^2y^2-xy-2=0.$.Bạn thế vào giải tiếp nha.Mình đi ngủ )

Phương trình trên tương đương:$\sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3x+2}+2=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x-2}{\sqrt[3]{(x-5)^{2}}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{9x-45}} + \dfrac{2x-4}{\sqrt[3]{(2x-1)^{2}}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6x-3}} - \dfrac{6-3x}{4+\sqrt[3]{(3x+2)^{2}}+2\sqrt{3x+2}} = 0 \Rightarrow x=2$

Bài 1:
Áp dụng bđt AM-GM ta có:

$a^{6}+bc\geqslant 2a^{3}\sqrt{bc}\Leftrightarrow \dfrac{2a^{3}}{a^{6}+bc}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{bc}}$

$\sum \dfrac{2a^{3}}{a^{6}+bc}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}$

$\sum \dfrac{1}{\sqrt{bc}}\leqslant \sum \dfrac{a}{bc} $

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}$

Ta có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+ac+bc $

$b+ac+bc\geqslant a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab} $

Suy ra: $\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}\geqslant \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ Đúng.

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Từ giả thiết suy ra : (a+1)(a-2b)$\leqslant 0$ mà a+1 lớn hơn 0 nên a-2b$\leqslant 0$
$\Leftrightarrow a\leqslant 2b\Leftrightarrow a^{2}\leq 4b^{2},3a\leqslant 6b$
$A=a^{2}-5b^{2}+3a\leqslant 4b^{2}-5b^{2}+6b=-b^{2}+6b=-(b^{2}-6b)\leq 9$ (bạn biến đổi 1 tí là ra ngay ). GTLN của A là 9 khi a=b=0

Đặt t=$\sqrt{x-2002}$.Ta có: 0$\leqslant (t-\sqrt{2002})^{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{t}{t^{2}+2002}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{2002}}\Leftrightarrow t=\sqrt{2002}\Leftrightarrow x=4004$(1) (Bạn khai triển rồi biến đổi tương đương)
Khi t$=\sqrt{2002}$ $\Leftrightarrow x=4004$
Đặt a=$\sqrt{x-2001}$.Ta có :$0 \leqslant (a-\sqrt{2003})^{2}\Leftrightarrow \dfrac{a}{a^{2}+2003}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{2003}}\Leftrightarrow a=\sqrt{2003}(2)\Leftrightarrow x=4004$.Vậy khi x=4004,A đặt giá trị lớn nhất là $\dfrac{1}{2\sqrt{2002}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2003}}$

mình nghĩ là thế này:):$7=3+4= \sqrt{9}+\sqrt{16}>\sqrt{8}+\sqrt{15}$

1b)$x^4-30x^2+31x-30=0 \Leftrightarrow (x-5)(x+6)(x^2-x+1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x + 6 = 0\\{x^2} - x + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 6\end{array} \right.$
--------------------------------------
MOD: Bạn nên học cách gõ $\LaTeX$ nhé. Tham khảo thêm ở đây . (Cao Xuân Huy)