ht2pro102

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Trực tâm H. Đường cao CF. Đường thẳng qua F vuông góc với OF cắt CA tại P. Chứng minh rằng $\angle FHP=\angle CAB$

$\boxed{\text{Bài toán 10}}$ Cho $\Delta ABC$ có đường tròn tâm $(I)$ nội tiếp, tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AC$ lần lượt tại $D,E,F$. Trung tuyến $AM$ cắt $EF$ tại $J$.Chứng minh : $D,I,J$ thẳng hàng.

Ta có:
$\angle KFB=\angle KOB=\frac{\angle ABC +\angle ACB }{2}$
Và$\angle OFB+\angle ODB=180^{o}$
Nên 2 tứ giác KFOB và OFBD nội tiếp được đường tròn nên $\angle IKD=\angle ABC$
CMTT ta được $\angle KID=\angle ACB$
Vầy ta có đpcm

Đầu tiên ta áp dụng bất đẳng thức Schur dạng:
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leqslant (a+b+c)^3+9abc$
Nhân 4 hai vế của bất đẳng thức,và sử dụng a+b+c=1,ta cần chứng minh:
$6(a+b+c)^3+54abc+4.\sum a(b-c)^2\leqslant 8(a+b+c)^3 \Leftrightarrow \sum a^3+\sum ab(a+b)\geq 9abc$
Đến đây ta dùng bất đẳng thức AM-GM cho 9 số dương ở vế trái.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

^{Ta có:}
$\sum \frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}$
Ta sẽ chứng minh:
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{\sqrt{3\sum a^2}}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^3\geq (\sum a^2b^2)(\sum a^2+\sum ab)$
Lần lượt áp dụng các bất đẳng thức:
$(\sum a^2b^2)\leq \frac{(\sum a^2)^2}{3}$
$\sum ab\leq \sum a^2$
Ta được điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bạn trên sai rồi nhé .Mình nghĩ như này
Phương trình đã cho tương đương với :$(x+1)^2(x^2-4x+7)+2=0$
Mà vế trái luôn dương nên phương trình vô nghiệm

Bài 1 (2đ): Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x(y+z)=x^2+2 & & \\ y(z+x)=y^2+3& & \\ z(x+y)=z^2+4& & \end{matrix}\right.$
Với các số thực x,y,z
Bài 2 (2đ): Cho tam giác ABC với O,I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp vs nội tiếp tam giác.Chứng minh rằng $\widehat{AIO}\leqslant 90^{\circ} \Leftrightarrow AB+AC\geqslant 2BC$
Bài 3 (2đ): Cho x,y,z là các số thực dương.CMR
$$6(x^3+y^3+z^3)\geqslant 18xyz +(\sqrt[3]{x(y-z)^2}+\sqrt[3]{y(x-z)^2} + \sqrt[3]{z(x-y)^2} )^3$$
Bài 4 (2đ): Tìm tất cả các hàm số$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$f(xf(y))+ f(f(x)+f(y))=yf(x) + f(x+f(y)) \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$
Bài 5 (2đ):Cho đường tròn (O) và các đường tròn $(O_{1}),(O_{2}),(O_{3})$ cùng tiếp xúc trong với (O) và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Các điểm $A_{1},A_{2},A_{3}$ theo thứ tự là tiếp điểm của (O) với $(O_{1}),(O_{2}),(O_{3})$.Các điểm $B_{1},B_{2},B_{3}$ theo thứ tự là tiếp điểm của các cặp đường tròn $(O_{2}),(O_{3}) ; (O_{3}),(O_{1}) ; (O_{1}),(O_{2})$
a) Chứng minh rằng $O_{1}B_{1},O_{2}B_{2},O_{3}B_{3}$ đồng quy tại I
b)Chứng minh $A_{1}B_{1},A_{2}B_{2},A_{3}B_{3}$ đồng quy tại K
c) Chứng minh rằng ba điểm I,O,K thẳng hàng
_______________________________________________HẾT________________________________________________

Xét y=0 $\Rightarrow$ x=0 là nghiệm của hệ phương trình
Xét y khác 0:
Từ phương trình 1,ta có $x=\frac{y^3}{2y^2-1}$
Thế x vào phương trình 2 ta có
$\frac{y^2}{(2y^2-1)^3}+y^2=\frac{2}{2y^2-1} \Leftrightarrow$
Đặt a=$y^2 (a>0)$
$\frac{a}{(2a-1)^3}+a=\frac{2}{2a-1} \Leftrightarrow 4a^4-6a^3-a^2+4a-1=0 \Leftrightarrow (a-1)^2(4a^2+2a-1)=0$
đến đây bạn giải tiếp giùm mình hén

$x^2 +\frac{2x}{x-1}=8 DKXD x\neq 1 \Leftrightarrow x^2 (x-1)+2x=8x-8 \Leftrightarrow x^3-x^2-6x+8=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+x-4)=0$
đến đây bạn làm tiếp nhá

$4a^2 + a\sqrt{2} - \sqrt{2}=0 \Leftrightarrow 4a^2=\sqrt{2}(1-a) \Leftrightarrow a^4+a+1=\frac{(a+3)^2}{8} \Leftrightarrow \sqrt{a^4+a+1}-a^2=\frac{a+3+a-1}{2\sqrt{2}}=\frac{a+1}{\sqrt{2}} \Rightarrow P=\sqrt{2}$

Đk:x,y$\geq \frac{-1}{2}$
$(x+y)(x+2y)+3x+2y-4=0 \Leftrightarrow x^2+(3y+3)x+2y^2+2y-4=0$
Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn x tham số y
$\Delta =9y^2+18y+9-8y^2-8y+16=y^2+10y+25=(y+5)^2$
$y+5>0 (y\geq \frac{-1}{2})$
Tới đây bạn tính được x theo y rồi thế vào phương trình trên

6.$Q=(x-\sqrt{5})^2+1\geq 1$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=\sqrt{5}$
10. a>3b nên a-3b>0 $A=\frac{a^2+9b^2}{a-3b}=\frac{(a-3b)^2+6ab}{a-3b}=\frac{(a-3b)^2+6}{a-3b}\geq \frac{2\sqrt{(a-3b)^2.6}}{a-3b}=2\sqrt{6}$
9.xy+x-2y=5 $\Leftrightarrow x(y+1)-2(y+1)=3$ $\Leftrightarrow (x-2)(y+1)=3=1.3=3.1=-1.-3=-3.-1$ Tới đây giải hệ phương trình
12.Giả sử cả hai phương trình không có phương trình nào có nghiệm thì delta cả 2 phương trình âm

$\Delta _{1}=b^2-4c$
$\Delta _{2}=c^2-4b$
$\Rightarrow \Delta _{1}+\Delta _{2}< 0$ $\Leftrightarrow b^2+c^2-4(b+c)<0$ $\Leftrightarrow b^2+c^2<4(b+c)\leq 2bc$ $\Leftrightarrow (b-c)^2< 0$ (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai. Vậy ít nhất có 1 phương trình có nghiệm

1.
$\sqrt{2}P=\sqrt{20-6\sqrt{11}}-\sqrt{20+6\sqrt{11}} \Leftrightarrow \sqrt{2}P=\sqrt{\left ( \sqrt{11}-3 \right )^2}-\sqrt{(\sqrt{11}+3)^2}=-6 \Rightarrow P=\frac{-6}{\sqrt{2}}=-\sqrt{18}$
8.$(x^2+y^2)^3=(x^3+y^3)^2 \Leftrightarrow x^6+y^6+2x^2y^2(x^2+y^2)=x^6+y^6+2x^3y^3 \Leftrightarrow 2(x^2+y^2)=2xy \Leftrightarrow (x-y)^2+x^2+y^2=0 \Rightarrow x=y=0$ (trái giả thiết)
Vậy không tồn tại x,y thõa đề bài

$\frac{x^{2}+2x+2}{(x+2)^{2}}\geqslant \frac{2}{3}\Leftrightarrow (x-1)^2\geqslant 0$ (đúng).Min = $\frac{2}{3}$ khi x=1

S=x(1+$\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+...+\frac{20}{39}$)+20=20+2$(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+...+\frac{20}{39})$
Suy ra x=2