ht2pro102

$\boxed{\text{Bài toán 10}}$ Cho $\Delta ABC$ có đường tròn tâm $(I)$ nội tiếp, tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AC$ lần lượt tại $D,E,F$. Trung tuyến $AM$ cắt $EF$ tại $J$.Chứng minh : $D,I,J$ thẳng hàng.

Ta có:
$\angle KFB=\angle KOB=\frac{\angle ABC +\angle ACB }{2}$
Và$\angle OFB+\angle ODB=180^{o}$
Nên 2 tứ giác KFOB và OFBD nội tiếp được đường tròn nên $\angle IKD=\angle ABC$
CMTT ta được $\angle KID=\angle ACB$
Vầy ta có đpcm

Đầu tiên ta áp dụng bất đẳng thức Schur dạng:
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leqslant (a+b+c)^3+9abc$
Nhân 4 hai vế của bất đẳng thức,và sử dụng a+b+c=1,ta cần chứng minh:
$6(a+b+c)^3+54abc+4.\sum a(b-c)^2\leqslant 8(a+b+c)^3 \Leftrightarrow \sum a^3+\sum ab(a+b)\geq 9abc$
Đến đây ta dùng bất đẳng thức AM-GM cho 9 số dương ở vế trái.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

^{Ta có:}
$\sum \frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}$
Ta sẽ chứng minh:
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{\sqrt{3\sum a^2}}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^3\geq (\sum a^2b^2)(\sum a^2+\sum ab)$
Lần lượt áp dụng các bất đẳng thức:
$(\sum a^2b^2)\leq \frac{(\sum a^2)^2}{3}$
$\sum ab\leq \sum a^2$
Ta được điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bạn trên sai rồi nhé .Mình nghĩ như này
Phương trình đã cho tương đương với :$(x+1)^2(x^2-4x+7)+2=0$
Mà vế trái luôn dương nên phương trình vô nghiệm