chinhtam0701

1. Đặt $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$ thì ta có x, y, z >0 và xyz=1. Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:
$\left ( 1+\frac{2x}{y} \right )\left ( 1+\frac{2y}{z} \right )\left ( 1+\frac{2z}{x} \right )\geq \left ( 2+x \right )\left ( 2+y \right )\left ( 2+z \right ) \Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}+2\sum \frac{y}{x}\geq 2\sum x+\sum xy$
Đến đây ta sử dụng AM-GM để chứng minh $\sum \frac{x}{y}\geq \sum x$ và $\sum \frac{y}{x}\geq \sum xy$. Thật vậy ta có
$2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}}=3x$, $2\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3y$, $2\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\geq 3z$ $\Rightarrow \sum \frac{x}{y}\geq \sum x$. Bằng cách thay $\left ( x, y, z \right )$ bởi $\left ( \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right )$ ta có $\sum \frac{y}{x}\geq \sum xy$. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c>0$
2. Sử dụng AM-GM (Bất đẳng thức Cauchy) là ra.

Tôi xin làm như sau: Đặt $t=-x$. Khi đó $x=1 \Rightarrow t=-1, x=-1 \Rightarrow t=1, dt=-dx.$
$I=\int_{-1}^{1}\frac{ln\left ( x^{2} +1\right )}{e^{x}+1}dx=\int_{-1}^{1}\frac{ln\left ( t^{2} +1\right )}{e^{-t}+1}dt=\int_{-1}^{1}\frac{e^{t}.ln\left ( t^{2} +1\right )}{e^{t}+1}dt =\int_{-1}^{1}\frac{e^{x}.ln\left ( x^{2} +1\right )}{e^{x}+1}dt$.
$\Rightarrow 2I=\int_{-1}^{1}ln\left ( x^{2}+1 \right )dx$.
Đặt $\left\{\begin{matrix} u=ln\left ( x^{2}+1 \right )\\dv=dx \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{2x}{x^{2}+1}\\v=x \end{matrix}\right.$...
Kết quả $I=\frac{\pi}{2}-2+ln2$