huyxbian

Cho $a,b $ là hai số thực thoả mãn : $0<b<a \leq 2$ và $2ab\leq 2b+a$
Chứng minh rằng : $P = a^2+b^2 \leq 5$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại M. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) từ B,C cắt nhau tại K. P là giao của MK với đường tròn (O) ( P khác M ). Chứng minh AP đi qua trung điểm I của BC.

Xét phương trình : $x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0 ; (a,b \in \mathbb{Q} )$
a)Chứng minh rằng : $ a = - 5, b = 3 $ là cặp hữu tỉ duy nhất làm cho phương trình đã cho có ba nghiệm trong đó có một nghiệm $2 + \sqrt{5} $.
b) Kí hiệu $ x_1, x_2, x_3 $ là ba nghiệm của phương trình trên. Đặt $S_n = x_1^n +x_2^n +x_3^n ( n \in \mathbb{N} ) $, Hãy tính $S_1 , S_2, S_3 $. Chứng minh rằng $S_n \in \mathbb{Z} $
c) Tìm số dư của phép chia $S_{2005} $ cho 4

Cho tứ giác $\text{ABCD}$, các đường chéo cắt nhau tại $\text{O}$. Tính $\text{S}_{\text{ABCD}}$ khi nhỏ nhất biết $\text{S}_{\text{AOB}} = \text{4cm}^{2}$ $;$ $\text{S}_{\text{COD}} = \text{9cm}^{2}$.

Tính tổng : $ \sum_{x=1}^{100}\frac{x}{x+x^2+x^4}=\frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{2+2^2+2^4}+...+\frac{100}{100+100^2+100^4}$