gataphoctoan

Đâu! Rút gọn trừ 2 vế chứ có phải chia đâu???

Có bài toán thế này mấy bài gỡ giúp em phát nhá!!! Tìm loạn mắt mất???
Bài toán 13: Cho: $x,y,z$ lớn hơn ( hoặc bằng ) 0 và $x + y + z = 1$. CMR:
$\frac{\sqrt{xy+z} + \sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}{1+\sqrt{xy}}\geq 1$ ( đề không sai đâu, em lấy máy tính thử hoài rồi )

GIẢI.

- Đâu tiên em dùng AM-GM cho $\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}\geq 2\sqrt{xy}$
-Dễ có 2 vế lớn hơn 0 nên nhân mẫu sang phải. Rút gọn 2 vế cho $\sqrt{xy}$.
-thế 1 = $\sqrt{x+y+z}$ vào rồi bình phương 2 vế, rút gọn tiếp cho z. Sau đó thay z = 1 - x - y vào. Ta được đpcm tương đương với:
$2xy + 2\sqrt{xy(x-1)(y-1)} \geq x+y$
<=> $2\sqrt{xy(x-1)(y-1)} \geq x+y - 2xy$
Ta có: x+y-2xy = x(1-y) + y(1-x) $\geq$ 0
( vì x,y dương mà x+y+z=1 nên x,y nhỏ hơn 1 ... )
Vậy ta được quyền bình phương 2 vế tiếp, nhân ra rút gọn thì nó thế này đây mấy bác:
0 $\geq$ $\left ( x-y \right )^{2}$
Em ứa máu vì bài này mất!! Mắt em cận chứ nó có đui đâu >"< !!!
"=" xảy ra khi x=y=0 ; z=1 biết mà k làm gì được nó mới tức...