19kvh97

Cho A là ma trận vuông cấp $n$ sao cho mỗi hàng mỗi cột có đúng $1$ phần tử bằng $1$, còn lại bằng $0$. CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vị

Cho hàm số $f(x)$ liên tục đơn điệu giảm trên $[0;b]$ và $a$ thuộc đoạn $[0;b]$. Chứng minh rằng :
$b\int_{0}^{a}f(x)dx\geq a\int_{0}^{b}f(x)dx$

Cho $f(x)$ là hàm số xác đinh trên đoạn $[0;1]$ và nhận giá trị trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn:
$\left | f(x)-f(y) \right |<\left | x-y \right |$ với mọi $x,y$ thuộc đoạn $[0;1]$

Chứng minh rằng tồn tại một điểm duy nhất $x_0$ thuộc đoạn $[0;1]$ sao cho: $f(x_0)=x_0$

Chứng minh rằng nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ và thỏa mãn điểu kiện $f(a)=f(b)=0$ thì 
$\left | \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \frac{(b-a)^2}{4}.M$