mt123

nếu anh nguyễn quốc thắng không up lên được thì không biết có bạn nào o hcm có thể qua sao chép lại rồi up lên không?

Họ tên: Vũ Trọng Hải
Ngày sinh: 8/10/1994
Nhóm muốn tham gia: nhóm 1
Yahoo: [email protected]

III. Bài tấp đề nghị

Bài 1: Cho $\left( C \right):y = \frac{{2{x^2} - 3x - 5}}{{x - 1}}$. Tìm $M \in \left( C \right)$ để khoảng cách từ $M$ đến $Ox$ gấp ba lần khoảng cách từ $M$ đến $Oy$.

Bài 2: Cho $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}}$. Tìm trên $\left( C \right)$ những điểm sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng $3x+y+6=0$ là nhỏ nhất.

Bài 3: Cho hàm số $y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + m}}{{x + m}}$. Tìm trên đồ thị hàm số ứng với $m=1$ những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

Bài 4: Cho $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$. Tìm trên mỗi nhánh của $\left( C \right)$ các điểm $M_1,M_2$ sao cho $\left| {{M_1}{M_2}} \right|$ là nhỏ nhất.

Bài 5: Cho $\left( {{C_a}} \right):y = \frac{{2{x^2}\sin a - 3x\cos a + 6}}{{x - 1}}$. Tìm $a$ để khoảng cách từ $O(0;0)$ đế tiện cận xiên lớn nhất.

Bài 6: Cho hàm số: $\left( C \right):y = x + \frac{1}{{x + 1}}$. Tìm m để đường thẳng $y=m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $OA \bot OB$ (với $O$ là gốc toạ độ)

ĐS: $m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$.

Bài 7: Cho hàm số: $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\left( C \right)$.

a. Tìm trên hai nhánh phân biệt của $\left( C \right)$ hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất.
b. Chứng minh tích của hai khoảng cách từ hai điểm bất kì trên $\left( C \right)$ đến hai đường tiện cận là một hằng số.

ĐS:

a. $A\left( {2 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};f\left( {2 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)} \right),\,\,B\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};f\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)} \right)$
b. $d = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Tài liệu tham khảo

- Tuyển tập cac chuyên đề luyện thi đại học phần hàm số của Trần Phương.
- Phương pháp giải toán hàm số của Mai Xuân Hệ.
- Một số tài liệu trên internet.

Dạng 2: Bài toán tìm cực trị của khoảng cách

Ví dụ 4: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)$. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiện cận là nhỏ nhất.

Giải.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow \left( C \right)$ có tiệm cận đứng là $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 1 = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = 0 \Rightarrow \left( C \right)$ có tiện cận xiên $\left( {{\Delta _2}} \right):x - y = 0$.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_0} = {x_0} + \frac{1}{{{x_0} - 1}}$.

${d_1}\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {{x_0} - 1} \right|$

${d_2}\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {{x_0} - {x_0} - \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}}$

${d_1} + {d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right| + \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}}} = \frac{2}{{\sqrt[4]{2}}}$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 1} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 \left| {{x_0} - 1} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x_0} = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$.

Vậy có hai điểm ${M_1}\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};1 - \frac{{\sqrt[4]{8}}}{2} - \sqrt[4]{8}} \right),\,{M_2}\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};1 + \frac{{\sqrt[4]{8}}}{2} + \sqrt[4]{8}} \right)$ làm cho tổng khoảng cách của chúng đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{2}{{\sqrt[4]{2}}}$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)$. Tìm $M \in \left( C \right)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ tới hai trục toạ độ $Ox,Oy$ là nhỏ nhất.

Giải.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$. Ta thấy tổng khoảng cách từ $M$ đến $Ox,Oy$ là:
\[d\left( M \right) = \left| {MH} \right| + \left| {MK} \right| = \left| x \right| + \left| y \right| = \left| x \right| + \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|\]
Ta thấy: khi toạ độ của $M$ là $M\left( {1;0} \right) \in \left( C \right)$ thì $d\left( M \right) = 1$. . Do đó giá trị nhỏ nhất của $d\left( M \right) $ sẽ nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Ta chì cần xét bài toán với $x,y$ thoả các điều kiện sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| < 1\\
\left| y \right| < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 < x < 1\\
\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1\]
Khi đó $d\left( M \right) $ trở thành: \[d\left( M \right) = x + \frac{{1 - x}}{{1 + x}} = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = \left( {x + 1} \right) + \frac{2}{{x + 1}} - 2 \ge 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\frac{2}{{x + 1}}} - 2 = 2\sqrt 2 - 2\]
Vậy $\min d\left( M \right) = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x + 1 = \frac{2}{{x + 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow M\left( {\sqrt 2 - 1;1 - \sqrt 2 } \right)$

Ví dụ 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)$ các điểm ${M_1},{M_2}$ sao cho $\left| {{M_1}{M_2}} \right|$ nhỏ nhất.

Giải.

Ta có: $y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}} = - x + 1 - \frac{4}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow \left( C \right)$ có tiệm cận đứng là $x=1$.

Gọi ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ thuộc nhánh trái của $\left( C \right)$ và ${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thuộc nhánh phải của $\left( C \right)$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 - a\\
{x_2} = 1 + b\\
a,b > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = a + \frac{4}{a}\\
{y_2} = - b - \frac{4}{b}
\end{array} \right.$.

Ta có: \[{\left( {{M_1}{M_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = {\left( { - a - b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{4}{a} + \frac{4}{b}} \right)^2}\]
\[ = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left[ {a + b + \frac{{4\left( {a + b} \right)}}{{ab}}} \right]^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{4}{{ab}}} \right)}^2}} \right]\]
\[ \ge {\left( {2\sqrt {ab} } \right)^2}\left( {2 + \frac{8}{{ab}} + \frac{{16}}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\,\,\,\,\left( \text{theo bất đẳng thức Cauchy} \right)\]
\[ = 4ab\left( {2 + \frac{8}{{ab}} + \frac{{16}}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = 8\left( {ab + \frac{8}{{ab}} + 4} \right) \ge 8\left( {2\sqrt {ab\frac{8}{{ab}}} + 4} \right)\]
Suy ra: ${\left( {{M_1}{M_2}} \right)^2} \ge 32\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$.

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b > 0\\
ab = \frac{8}{{ab}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt[4]{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{M_1}\left( {1 - \sqrt[4]{8};\sqrt[4]{8} + 2\sqrt[4]{2}} \right)\\
{M_2}\left( {1 + \sqrt[4]{8}; - \sqrt[4]{8} - 2\sqrt[4]{2}} \right)
\end{array} \right.$.

Hiện tại hình như chuyên đề Số chính phương của Khải không nộp được, bạn làm phần đó được không?

Cũng được. Vậy giao cho mình nhé.