yeu meo

Bài này có một cách rất hay sử dụng bổ đề :
Nếu $a,b,c$ là các số thực không âm thì ta luôn có :
$$a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$$
Nhiều bạn thắc mắc là dấu "=" đâu xảy ra tại 1. Nhưng ta có thể làm như sau :
Đặt $2x=a, 2y=b, 2z=c$ suy ra $a+b+c=3$.Cần chứng minh :
$$8\left (a^3+b^3+c^3\right ) +a^2b^2c^2 \ge 25$$
Thật vậy, áp dụng AM-GM, ta có :
$8a^3+4 \ge 12a^2, 8b^3+4 \ge 12b^2, 8c^3+4 \ge 12c^2$
$a^2b^2c^2+1 \ge 2abc$
Suy ra :
$$8\left (a^3+b^3+c^3\right ) +a^2b^2c^2 \ge 12\left (a^2+b^2+c^2\right )+2abc - 13 \ge 11\left (a^2+b^2+c^2\right ) +2(ab+bc+ca)-14$$
$$=10 \left (a^2+b^2+c^2\right ) +(a+b+c)^2 -14 \ge 30+9-14 =25$$
Bài toán đã được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$
Tất nhiên, $Schur$ vẫn được nhưng có vẻ hơi bị gò bó