Sagittarius912

cach 3: su dung AM-GM . ta co:
$\frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}+\frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}+xy(2z^{2}+xy)\geq 3xy$
làm tuơng tự ta có:$2P+(xy+yz+zx)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)\Rightarrow P\geq 1$
vay min cua P là 1 khi x=y=z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$

cách 2 : sử dụng bdt Holder ta có:
$P^{2}\times \sum xy(2z^{2}+xy)\geq (xy+yz+zx)^{3} \Rightarrow P^{2}\geq \frac{1^{3}}{(xy+yz+zx)^{2}}=1 \Rightarrow P\geq 1$
vay min P =1 khi x=y=z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài toán 2.
Chứng minh $\forall x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$ ta luôn có bất đẳng thức:
$$\frac{x^2+2}{y}+\frac{y^2+2}{z}+\frac{z^2+2}{x}\geq 9$$

$VT= \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{2}{y}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z}+\sum \frac{2}{y}\geq \sum \left ( x+\frac{1}{x} \right )+\sum \frac{1}{x}\geq 6+\sum \frac{1}{x}$
đến đây ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{x}\geq 3$
thật vậy ta có $\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( 1+1+1 \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{2}\Rightarrow (x+y+z)\leq 3\Rightarrow \frac{9}{x+y+z}\geq 3\Rightarrow \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 3$

vậy ta có đpcm, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Bài 1:
Trong hình vuông có cạnh bằng 1 đặt 51 điểm bất kì phân biệt.Chứng minh có ít nhất ba trong số 51 điểm đó nằm trong 1 hình tròn bán kính $\frac{1}{7}$

chia mỗi cạnh của hình vuông đã cho thành các đoạn 0,2 liền nhau. khi đó ta sẽ có 25 hình vuông cạnh 0,2. theo nguyên lí dirichle thì có 1 hình vuông nhỏ chứa ít nhất 3 diểm. nhận thấy hình vuông này có diện tích là $S=0,2^{2}< \left ( \frac{1}{7} \right )^{2}\pi$. vậy có ít nhất 3 trong 51 điểm đã cho nằm trong hình tròn bán kính 1/7

Bài 4: Cho bảng vuông gồm n.n ô, mỗi ô tô viết 1 trong 3 số 0;1;2. CMR không tồn tại bảng vuông nào mà tổng các số trên cột, hàng và đường chéo là các số khác nhau
Bài 5:Cho 6 điểm trên măt phẳng sao cho bất kì 3 điểm nào cũng là đỉnh của 1 tam giác có các cạnh chiều dài khác nhau. CMR tồn tại 1 cạnh là cạnh nhỏ nhất của 1 tam giác, vừa là cạnh lớn nhất của 1 tam giác khác

Nhưng chúng ta đã biết nguyên lí $Dirichlet$ có ứng dụng rất lớn trong giải các bài toán rời rạc,số học,....

Mục tiêu của topic nhằm giúp các bạn hiểu,áp dụng,tích trữ kinh nghiệm để giải các bài toán một cách thành thạo.

Mong mọi người ủng hộ và làm topic thêm sôi động

Nguyên lí $Dirichlet$ được phát biểu như sau:
-Nếu nhốt $n+1$ con thỏ vào $n$ lồng thì có 1 lồng chứa ít nhất 2 con
-Nếu nhốt $m.n+1$ con thỏ vào $n$ chuồng thì có 1 chuồng chứa ít nhất $m$ con thỏ
-Nếu nhốt $m$ con thỏ vào $n$ chuồng $m>n$ thì có 1 lồng chứa ít nhất $[\frac{m}{n}]+1$ con thỏ


Bài 2:
Trên mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ ba điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1.
Chứng minh tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm.

không mất tính tổng quát giả sử 2 điểm có khoảng cách lớn nhất là AB. dựng trên tia AB điểm C sao cho AC=1. kẻ 2 đường tròn bán kính 1 tâm là A,C. khi đó theo nguyên lí Dirichle sẽ có ít nhất 13 điểm trong 25 điểm đã cho nằm vào 1 trong 2 đường tròn=> dpcm

Cho $xy+yz+zx=1$ Tìm GTNN của $P=\sum \frac{xy}{\sqrt{2z^{2}+xy}}$

@@ ức chế thiệt, mất gần 1 tiếng mới sửa xong cái mạng TT_TT. bài làm của tớ như sau:
Đặt xy=a; yz=b; zx=c
khi đó a+b+c=1 và $x^{2}= \frac{ac}{b}; y^{2}=\frac{ab}{c};z^{2}=\frac{cb}{a}$
khi đó:
$P=\sum \frac{a}{\sqrt{\frac{2bc}{a}+a}}=\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{a}\sqrt{a^{2}+2bc}}\geq \sum \frac{(a)^{2}}{\frac{a+a^{2}+2bc}{2}}=1$
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
p/s: mình vẫn thắc mắc là đề có thiếu hay không? x,y,z phải dương chứ???

Cho $a$ là 1 số hữu tỉ, $b,c,d\in \mathbb{R}$

và hàm số $f: \mathbb{R} \to \left[ -1; 1\right]$ thỏa mãn

$f(x+a+b)-f(x+b)=c\times [x+2a+[x]-2[x+a]-[b]]+d$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Chứng minh rằng: $f$ là hàm tuần hoàn.

Nếu $(a-b)^2$ chia 4 dư 1;$(b-c)^2$ dư 2 còn $(c-a)^2$ chia 4 sư 1 thì sao
Có cả trường hợp cả 3 số đều không chia hết nhưng tổng vẫn chia hết
VD: $1+2+1=4\equiv 0(mod4)$

bạn ơi, số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1 thôi mà

Bài toán (Trung Kiên) Cho $a,b,c$ là các số nguyên sao cho $A = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{2}$ là số chính phương . Chứng minh rằng a = b = c

A là số chính phương nên 4A cũng là số chính phương. ta có
$4A= (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$
Vì $4A\equiv 0(mod 4)\Rightarrow (a-b)^{2};(b-c)^{2};(c-a)^{2}$ phải đồng thời chia hết cho 4
Đặt $a-b=2x$
$b-c=2y$
$c-a=2z$
khi đó $A= x^{2}+y^{2}+z^{2}= (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=-(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab+bc+ca)=-2(-2A) \Rightarrow A=0 \Rightarrow a=b=c$

Tớ cũng ko nhớ,cách đó hồi lớp 8 tớ đi thi hsg hồi lớp 8 nên nghĩ ra,ko biết đúng hay sai mà về điểm thấp(chơ vẫn đậu đội chuyên của tp )
p/s: like cho tớ với

hồi nớ m mấy điểm?? t sát sàn lun T.T

Ko cần giả sử mô đạt nở,xét là đc rùi

giống nhau cả

giả sử $n^{2}+5n+16\vdots 169 \Rightarrow 4n^{2}+20n+64\vdots 169 \Rightarrow (2n+5)^{2}+39\vdots 169$
$\Rightarrow (2n+5)^{2}+39\vdots 13$ (1)
mà $39\vdots 13\Rightarrow (2n+5)^{2}\vdots 13$
vì 13 là số nguyên tố
$\Rightarrow (2n+5)^{2}\vdots 169$ (2)
từ (1) và (2) ta có: $39 \vdots 169$ ( vô lí)
$\Rightarrow$ đpcm

cho a,b,c là các số thực 0<a,b,c<1 thoả mãn
ab+bc+ca+a+b+c=1+abc
chứng minh rằng:
$\frac{a+1}{a^{2}+1}+\frac{b+1}{b^{2}+1}+\frac{c+1}{c^{2}+1}\leq \frac{3\left ( 3+\sqrt{3} \right )}{4}$
-------------------------------------
Đặt tiêu đề đúng quy định bạn nhé Tham khảo thêm tại:
http://diendantoanho...i-khong-bị-xoa/