25 minutes

Cho tam giác nhọn $ABC$. Kẻ các tam giác vuông cân $ABD, CAE$ vuông tại $A$.

Nối $D$ với $E$ và lấy $M$ là trung điểm của $DE$

Chứng minh $MA$ vuông góc với $BC$

Thầy cứ để em như là thành viên bình thường cũng được ạ, năm 2015 em có đóng góp gì đâu ạ, nhưng cũng thật may là các thành viên trên diễn đàn còn nhớ tên

Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^2}{z(z^2+x^2)}+\frac{y^2}{x(x^2+y^2)}+\frac{z^2}{y(y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)$

Ta có $\frac{x^2}{z(x^2+z^2)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{x^2+z^2}\geqslant \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^2}{z(x^2+z^2)}\geqslant\sum  \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}$

$\Rightarrow P\geqslant \sum (\frac{1}{2x}+2x^2)=\sum (\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+2x^2)\geqslant 3.3\sqrt[3]{\frac{1}{4x}.\frac{1}{4x}.2x^2}=\frac{9}{2}$

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}-\frac{20}{a+b+c}$

Sử dụng SOS và AM-GM bạn chứng minh

  $\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{30}{(a+b+c)^2}$

Đưa về hàm số $f(t),t=\frac{1}{a+b+c}>0$

$Cho \left\{x,y,z>0\begin{matrix} \\xyz=1 \end{matrix}\right. CMR:\frac{x^{2}}{x+y+y^{3}z}+\frac{y^{2}}{y+z+z^{3}x}+\frac{z^{2}}{x+z+x^{3}y} \geq 1$

Ta có $\frac{x^2}{x+y+y^3z}=\frac{x^2}{x+y+\frac{y^2}{x}}=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=x-\frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}\geqslant x-\frac{xy(x+y)}{\frac{3(x+y)^2}{4}}=x-\frac{4xy}{3(x+y)}\geqslant z-\frac{4xy}{6\sqrt{xy}}=x-\frac{2\sqrt{xy}}{3}\geqslant \frac{2x-y}{3}$

Tương tự ta có 

  $P\geqslant \sum \frac{2x-y}{3}=\frac{x+y+z}{3}\geqslant \sqrt[3]{xyz}=1$

giúp em bài này cho a,b,c>0

 tìm gtln gtnn nếu có của 
$P= \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}} -\frac{9}{(a+b)(\sqrt{(a+2c)(b+2c)}} $

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx)$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}$

Ta có $5x^2-9x(y+z)=18yz-5(y^2+z^2)\leqslant 2(y+z)^2$

$\Rightarrow x\leqslant 2(y+z)$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{2(y+z)}{y^2+z^2}-\frac{1}{27(y+z)^3}\leqslant \frac{4}{y+z}-\frac{1}{27(y+z)^2}=f(t),t=y+z>0$

Sau đó khảo sát hàm số.

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Tìm $\max P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Sử dụng AM-GM $(ab+bc+ca)^2\geqslant 3abc(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\geqslant \sqrt{3.3.abc}=3\sqrt{abc}$

Và $(1+a)(1+b)(1+c)\geqslant (1+\sqrt[3]{abc})^3$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{2}{3+3\sqrt{abc}}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}=f(abc)$

Khảo sát hàm số với $t=\sqrt[6]{abc}\leqslant 1$

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:   

$P=8(x+y+z)+5(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Sử dụng AM-GM ta có $(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3xyz(x+y+z)\Rightarrow xyz\leqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}$

$\Rightarrow P=8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{xyz}\geqslant 8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{\frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}}=8(x+y+z)+\frac{15(x+y+z)}{xy+yz+zx}$

Đặt $t=x+y+z\leqslant 3\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-3}{2}$

$\Rightarrow P\geqslant 8t+\frac{30}{t^2-3}=f(t)$

Khảo sát hàm số với $0<t \leqslant 3$

Bài tiếp Anh 25 minutes thông cảm , giờ em cũng chẳng biết đánh số bài là bao nhiêu nữa ..)

1,Cho $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm GTNN của $P=x^3+y^3+z^3-3xyz$

2,Cho $x,y,z$ không âm thỏa $x^2+y^2+z^2 =3.$ Tìm GTLN $A=xy+yz+xz+\frac{5}{x+y+z}$....

Bài 1: Ta có $P=\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]=\frac{1}{2}(x+y+z)[2-2(xy+yz+zx)]=(x+y+z)[1-(xy+yz+zx)]$

Đặt $t=x+y+z\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow P=t.(1-\frac{t^2-1}{2})=f(t)$

Với điều kiện $t \in [1;\sqrt{3}]$

Bài 2: Đặt $t=x+y+z\Rightarrow A=\frac{t^2-3}{2}+\frac{5}{t}=f(t)$

Với điều kiện $t \in [\sqrt{3};3]$

Mọi người cho em xin tài liệu về bất dẳng thức ôn thi đại học. Em xin cảm ơn

Đây là những bài toán được tổng hợp trên các Topic của diễn đàn.

http://diendantoanho...-tìm-gtnn-gtln/

Bài 1: Cho $x \geq 0;y \geq 0 ; x^3+y^3-xy=1.$ Tìm GTNN,GTLN của $A=x^2+xy+y^2.$

Bài 2:Cho $x,y >0$ thỏa $3xy+3=x^4+y^4+\frac{2}{xy}.$ Tìm GTLN: $P=x^2y^2+\frac{16}{x^2+y^2+2}$

Bài 3: Cho x,y thỏa $(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2.$ Tìm GTNN,GTLN của $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 1: Đặt $S=x+y, P=xy$

Từ giả thiết ta có $S^3-3PS-P-1\Rightarrow P=\frac{S^3-1}{3S+1}\leqslant \frac{S^2}{4}\Rightarrow S\leqslant 2$

Khi đó $P=x^2+xy+y^2=S^2-P=S^2-\frac{S^3-1}{3S+1}=\frac{2S^3+S^2-1}{3S+1}=f(S)$

Từ $S^3-3PS-P=1\Rightarrow S\geqslant 1\Rightarrow S \in [1;2]$

Bài 2: Từ giả thiết $3xy+3=x^4+y^4+\frac{2}{xy}\geqslant 2x^2y^2+\frac{2}{xy}\Rightarrow \frac{1}{2}\leqslant xy\leqslant 2$

Và $P\leqslant x^2y^2+\frac{8}{xy+1}$

Bài 3: Lời giải của NPD

Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN $$P=\frac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}.$$

 

Thi thử ĐH 2015 Chuyên Ams

Áp dụng AM-GM $4\sqrt{ab}=2\sqrt{a.4b}\leqslant a+4b$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{8}{7a+4b+a+4b}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}$

Đến đây đặt ẩn phụ rồi khảo sát hàm số.

Mười tám sản phẩm được xếp vào 3 hộp một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hộp thứ nhất được xếp 6 sản phẩm.

Lúc đầu mình tưởng 18 sản phẩm này là khác nhau @@@. Mình làm như này không biết đúng không ?

Số cách xếp 18 sản phẩm vào 3 hộp cũng giống như số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+y+z=18$

Số nghiệm của nó là $C^{2}_{20}=190$

Nếu hộp thứ 1 có 6 sản phẩm, thì 2 hộp còn lại có 12 sản phẩm

Số cách xếp 12 sản phẩm vào 2 hộp còn lại là $C^{1}_{13}=13$

Nhưng đề bài nói rõ là hộp thứ 1 có 6 sản phẩm, tức là 3 hộp phân biệt.

Vậy $P=\frac{1}{3}.\frac{13}{190}=\frac{13}{570}$