quanghao98

Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc=>P=2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{q}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Áp dụng bđt Bunchiacopxki: $(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(9-2q)(q^2-6r)$

$=>a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(9-2q)(q^2-6r)}\leqslant \frac{9-2q+q^2-6r}{2}$ (theo Cauchy)

$=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{9-2q+q^2-6r}$

Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $6r\geqslant \frac{6p(4q-p^2)}{9}=8q^2-18$

$<=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}$ (1)

Ta lại có: $2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}-34=\frac{(q-3)(2q^3-48q^2+333q-729)}{q(q^2-10q+27)}\geqslant 0$ 

Do $q\leqslant 3$ và $2q^3-48q^2+333q-729<0$ với $0<q\leqslant 3$

$=>2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}\geqslant 34$ (2)

Từ (1);(2) suy ra: $P\geqslant 2015+34=2049$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Anh còn cách nào đễ hơn không,trường em không học BDT Schur

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

$\sqrt{mx^3+3x^2+8mx-1}=0$

Đặt $f(x)=(x+2)(\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})+\sqrt{2x^2+5x+3}-1$,ĐKXĐ:$x\geq -1 (1)$
Ta có:$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{4x+5}{2\sqrt{(x+1)(2x+3)}}>0$ với mọi $x>-1$
$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1)$.Lại có $f(-1)=0\Rightarrow f(x)\geq f(-1)\Leftrightarrow x\geq -1$
Vậy tập nghiệm là $S=${$x|x\geq -1$}

bạn ơi bạn tính thiếu đạo hàm rồi

Ý bạn là vuông tại A,D??

Đung roi,minh go nham.bai nay kho qua

Từ hàm số $y= x +\frac{11}{2x}+ \sqrt{4(1+\frac{7}{x^2})}$

Viết lại ta có: $y= x +\frac{11}{2x}+ \frac{1}{2}\sqrt{(9+7)(1+\frac{7}{x^2})}$

Từ bất đẳng thức:$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$

Từ đó ta áp dụng:$(3^2+\sqrt{7}^2)(1+\frac{\sqrt{7}^2}{x^2})\geq (3+\frac{7}{x})^2$

Nên $y\geq x+\frac{11}{2x}+\frac{1}{2}(3+\frac{7}{x})$ = $(x+\frac{9}{x})+\frac{3}{2}$

=> $y \geq \frac{15}{2}$

cam on ban nhieu