HeyJude

ĐK: $x\leq 2$

Đặt $a=\sqrt{2-x}, b=x$

Có hệ mới:

$a^2+b^2=2$ và $b^2+a=2b^2a$

Thay $b^2=2-a^2$ vào pt 2 được:

$2a^3-a^2-3a+2=0$

$\Leftrightarrow (a-1)(2a^2+a-2)=0$

 

HD:

ĐK:$x\in[-1;1]$

Đặt $a=\sqrt{1-x}, b=\sqrt{1+x}$

Pt trở thành: $3ab+4a-5b-a^2-2b^2-3=0$

$\leftrightarrow a^2-a(3b+4)+2b^2+5b+3=0$

Tính $\delta=(3b+4)^2-4(2b^2+5b+3)=(b+2)^2$

nên $a=\frac{(3b+4)+(b+2)}{2}=2b+3$ hoặc $a=\frac{(3b+4)-(b+2)}{2}=b+1$

Bài toán 2.
Chứng minh rằng $\forall a,b,c>0$ ta luôn cóa :")
$$\frac{2a^2+bc}{a^2+2bc}+\frac{2b^2+ac}{b^2+2ac}+\frac{2c^2+ab}{c^2+2ab}\leq \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{abc}}$$

Chuẩn hoá $abc=1$
BDT cần chứng minh
$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^3+1}{a^3+2}\leq\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow 6-\sum \frac{3}{a^3+2}\leq \sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}$
Đặt $\sqrt{a^3}=x, \sqrt{b^3}=y, \sqrt{c^3}=z, xyz=1$
BDT cần chứng minh
$\Leftrightarrow \sum x +\sum \frac{3}{x^2+2}\geq6$
$f(x,y,z)-f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})=(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2 \frac{(y^2+2)(z^2+2)(yz+2)+(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(yz-2)}{(y^2+2)(z^2+2)(yz+2)}$
Cần chứng minh $(y^2+2)(z^2+2)\geq(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2$
$\Leftrightarrow \frac{y^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}+(y^2z^2+1)+\frac{3}{2}y^2+\frac{3}{2}z^2+1\geq y+z+2\sqrt{yz}$
Do đó $f(x,y,z) \geq f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})$
Vậy chỉ cần chứng minh $f(\frac{1}{t^2},t,t)\geq 6$ với $t=\sqrt{yz}$
Điêù đó tương đương
$(t-1)^2(4t^7-t^6+2t^5+t^4+2t^3+t^3+4t+2)\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài $2$ :
Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c > 0$. Chứng minh :
$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}} + \frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}} + \frac{c^{2}}{2c^{2} + (a+b)^{2}} \leq \frac{ 2}{3} $.

BDT có vẻ sai nhỉ
Khi cho a=b=c=1
Có lẽ là $\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{2}{3}$

1 BĐT đẹp
Chứng mnih với mọi x,y,z dương
$\frac{x}{y(x^2+2y^2)}+\frac{y}{z(y^2+2z^2)}+\frac{z}{x(z^2+2x^2)}\geq \frac{3}{xy+yz+zx}$

Cách ngu
Vì BDT là đồng bậc nên chuẩn hoá $x+y+z=3$
$(xy+yz+zx)(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq(x+y+z)^2=3^2$
$\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq\frac{9}{xy+yz+zx}$
Vậy BDT cần chứng minh
$\sum \frac{x}{y(x^2+2y^2)}\geq\frac{1}{3}( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$
Đặt $\frac{x}{y}=a,...$ Có thêm $abc=1$
Chứng minh
$\sum \frac{a}{1+\frac{2}{a^2}}\geq\frac{a+b+c}{3}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+2}\geq\frac{a+b+c}{3}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{a^3+2a}\geq\frac{a+b+c}{3}$
Theo Cauchy-Swart ta có $\sum \frac{a^4}{a^3+2a}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^3+2\sum a}$
Ta cần chứng minh $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^3+2\sum a}\geq\frac{a+b+c}{3}$
Khai triển rút gọn và kết hợp $pqr (p,q\geq3,r=1)$
Ta được $p^4-p^3-2p^2+8q^2-4p^2q\geq0$
Cái này đúng với $p,q\geq3$ (Chắc dễ đánh giá )