HeyJude

HD:

ĐK:$x\in[-1;1]$

Đặt $a=\sqrt{1-x}, b=\sqrt{1+x}$

Pt trở thành: $3ab+4a-5b-a^2-2b^2-3=0$

$\leftrightarrow a^2-a(3b+4)+2b^2+5b+3=0$

Tính $\delta=(3b+4)^2-4(2b^2+5b+3)=(b+2)^2$

nên $a=\frac{(3b+4)+(b+2)}{2}=2b+3$ hoặc $a=\frac{(3b+4)-(b+2)}{2}=b+1$

Bài toán 2.
Chứng minh rằng $\forall a,b,c>0$ ta luôn cóa :")
$$\frac{2a^2+bc}{a^2+2bc}+\frac{2b^2+ac}{b^2+2ac}+\frac{2c^2+ab}{c^2+2ab}\leq \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{abc}}$$

Chuẩn hoá $abc=1$
BDT cần chứng minh
$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^3+1}{a^3+2}\leq\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow 6-\sum \frac{3}{a^3+2}\leq \sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}$
Đặt $\sqrt{a^3}=x, \sqrt{b^3}=y, \sqrt{c^3}=z, xyz=1$
BDT cần chứng minh
$\Leftrightarrow \sum x +\sum \frac{3}{x^2+2}\geq6$
$f(x,y,z)-f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})=(\sqrt{y}-\sqrt{z})^2 \frac{(y^2+2)(z^2+2)(yz+2)+(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(yz-2)}{(y^2+2)(z^2+2)(yz+2)}$
Cần chứng minh $(y^2+2)(z^2+2)\geq(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2$
$\Leftrightarrow \frac{y^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}+(y^2z^2+1)+\frac{3}{2}y^2+\frac{3}{2}z^2+1\geq y+z+2\sqrt{yz}$
Do đó $f(x,y,z) \geq f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})$
Vậy chỉ cần chứng minh $f(\frac{1}{t^2},t,t)\geq 6$ với $t=\sqrt{yz}$
Điêù đó tương đương
$(t-1)^2(4t^7-t^6+2t^5+t^4+2t^3+t^3+4t+2)\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

1 BĐT đẹp
Chứng mnih với mọi x,y,z dương
$\frac{x}{y(x^2+2y^2)}+\frac{y}{z(y^2+2z^2)}+\frac{z}{x(z^2+2x^2)}\geq \frac{3}{xy+yz+zx}$

Cách ngu
Vì BDT là đồng bậc nên chuẩn hoá $x+y+z=3$
$(xy+yz+zx)(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq(x+y+z)^2=3^2$
$\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq\frac{9}{xy+yz+zx}$
Vậy BDT cần chứng minh
$\sum \frac{x}{y(x^2+2y^2)}\geq\frac{1}{3}( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})$
Đặt $\frac{x}{y}=a,...$ Có thêm $abc=1$
Chứng minh
$\sum \frac{a}{1+\frac{2}{a^2}}\geq\frac{a+b+c}{3}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+2}\geq\frac{a+b+c}{3}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{a^3+2a}\geq\frac{a+b+c}{3}$
Theo Cauchy-Swart ta có $\sum \frac{a^4}{a^3+2a}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^3+2\sum a}$
Ta cần chứng minh $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^3+2\sum a}\geq\frac{a+b+c}{3}$
Khai triển rút gọn và kết hợp $pqr (p,q\geq3,r=1)$
Ta được $p^4-p^3-2p^2+8q^2-4p^2q\geq0$
Cái này đúng với $p,q\geq3$ (Chắc dễ đánh giá )

$2(\sqrt{1-5x}-\sqrt{x}-\sqrt{x(1-x}))= x-1$

PT$\Leftrightarrow$$2(\sqrt{1-5x}-\sqrt{x(1-x)})-(x+2\sqrt{x}-1)=0$
$\Leftrightarrow$$2\frac{x^2-6x+1}{\sqrt{1-5x}+\sqrt{x(1-x)}}-\frac{x^2-6x+1}{x-2\sqrt{x}-1}=0$
$\Leftrightarrow$$(x^2-6x+1)(\frac{2}{\sqrt{1-5x}+\sqrt{x(1-x)}}-\frac{1}{x-2\sqrt{x}-1})=0$
Cái thứ hai vô nghiệm vì $\frac{2}{\sqrt{1-5x}+\sqrt{x(1-x}}>\frac{1}{x-2\sqrt{x}-1}$

Cho a,b,c,d>0; ab+bc+cd+da=1
CMR $\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$
-------------------------------------------------------------
Giúp mình với

VT$\geq\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}+\frac{1}{a+b+c})$
$\geq\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)\frac{16}{3(a+b+c+d)}$
$\geq\frac{1}{4}.\frac{(a+b+c+d)^3}{3(a+b+c+d)}$
$\geq\frac{1}{4}.\frac{1}{3}.4(ab+bc+cd+da)$
$\geq\frac{1}{3}$

Giải phương trình $\sqrt{2x^{2}+15x+7}-\sqrt{2x^{2}+7x+3} = 3\sqrt{x+7} + 3\sqrt{x+3} + 4$

PT$\Leftrightarrow$$\sqrt{(x+7)(2x+1)}-\sqrt{(x+3)(2x+1)}=3\sqrt{x+7}+3\sqrt{x+3}+4$
$\Leftrightarrow$$\sqrt{2x+1}(\sqrt{x+7}-\sqrt{x+3})-3(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+3})-4=0$
$\Leftrightarrow$$4(\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+7}+\sqrt{x+3}}-\frac{3}{\sqrt{x+7}-\sqrt{x+3}}-1)=0$
PT này vô nghiệm vì $\sqrt{x+7}+\sqrt{x+3}\geq\sqrt{2x+10}>\sqrt{2x+1}$
$\Rightarrow$ $\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+7}+\sqrt{x+3}}<1$

Mình nghĩ bài này là
$\sqrt{2x^{2}+15x+7}+\sqrt{2x^{2}+7x+3} = 3\sqrt{x+7} + 3\sqrt{x+3} + 4$
thì đúng hơn
PT $\Leftrightarrow$ $(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+3})(\sqrt{2x+1}-3-\sqrt{x+7}+\sqrt{x+3})=0$

Đặt $t=\sqrt{3x-7}+\sqrt{7-x}$
PT$\Leftrightarrow$$7(\sqrt{3x-7}+\sqrt{7-x})+[(3x-7)-(7-x)]\sqrt{7-x}=32$
$\Leftrightarrow$$7t+t\sqrt{(3x-7)(7-x)}-t(7-x)=32$
$\Leftrightarrow$$7t+t(\frac{t^2}{2}-x)-t(7-x)=32$
$\Leftrightarrow$$t=4$

Giải giúp mình bài này với:
$\begin{cases}\sqrt{2y^2-7y+10-x(y+3)}+\sqrt{y+1}=x+1\\\sqrt{x+1}+\frac{3}{x+1}=x+2y\end{cases}$