sieucuong1998

cho $\Delta ABC$ và $O\epsilon \Delta ABC$

nối OA cắt BC ở A1,OB cắt OC tại B1,OC cắt AB tại C1

Chứng minh:

1)$\frac{OA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OB_{1}}{BB_{1}}+\frac{OC_{1}}{CC_{1}}=1$

2)$\frac{OA}{OA_{1}}+\frac{OB}{OB_{1}}+\frac{OC}{OC_{1}}\geq 6$

3)$\frac{OA}{OA_{1}}.\frac{OB}{OB_{1}}.\frac{OC}{OC_{1}}\geq 8$

THANK        

1. Đặt $S_{ABC}=S, S_{BOC}=S_1, S_{AOC}=S_2, S_{AOB}=S_3$ thì $S=S_1+S_2+S_3$.

Kẻ $AH\perp BC \left ( H\in BC \right ), OI\perp BC \left ( I\in BC \right )$

Khi đó $\frac{OA_{1}}{AA_{1}}=\frac{OI}{AH}=\frac{S_1}{S}$

Tương tự $\frac{OB_{1}}{BB_{1}}=\frac{S_2}{S}, \frac{OC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_3}{S}$

Suy ra $\frac{OA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OB_{1}}{BB_{1}}+\frac{OC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_1+S_2+S_3}{S}=1 (Q.E.D)$.

2. Từ câu a có $\frac{OA_{1}}{AA_{1}}=\frac{S_1}{S}\Rightarrow \frac{OA_{1}}{AA_{1}-OA_{1}}=\frac{S_1}{S-S_{1}}\Leftrightarrow \frac{OA_{1}}{OA}=\frac{S_1}{S_2+S_3}$

hay $\Leftrightarrow \frac{OA}{OA_{1}}=\frac{S_2+S_3}{S_1} (1)$

Tương tự $\frac{OB}{OB_{1}}=\frac{S_1+S_3}{S_2}(2), \frac{OC}{OC_{1}}=\frac{S_1+S_2}{S_3}(3)$

Cộng $(1),(2),(3)$ vế theo vế cho ta

$$\frac{OA}{OA_{1}}+\frac{OB}{OB_{1}}+\frac{OC}{OC_{1}}=\left ( \frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_1}\right )+\left ( \frac{S_2}{S_3}+\frac{S_3}{S_2}\right )+\left ( \frac{S_3}{S_1}+\frac{S_1}{S_3}\right ) \geq 2+2+2=6 (Cauchy) $$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $S_1=S_2=S_3 \Leftrightarrow O$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

3. Từ câu b có $\frac{OA}{OA_{1}}=\frac{S_2+S_3}{S_1}\geq \frac{2\sqrt{S_{2} S_{3}}}{S_1} (1) (Cauchy)$

Tương tự $\frac{OB}{OB_{1}}\geq \frac{2\sqrt{S_{1} S_{3}}}{S_2} (2), \frac{OC}{OC_{1}}\geq \frac{2\sqrt{S_{1} S_{3}}}{S_3} (3)$

Nhân $(1),(2),(3)$ vế theo vế có

$$\frac{OA}{OA_{1}}.\frac{OB}{OB_{1}}.\frac{OC}{OC_{1}}\geq \frac{8 S_1 S_2 S_3}{S_1 S_2 S_3} = 8$$

Dấu $'='$ xảy ra khi và chỉ khi $S_1=S_2=S_3 \Leftrightarrow O$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

$\square$

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của  $A = 2x + 3y$   biết  $2x^2 + 3y^2 = 5$.

Áp dụng BĐT $Bunyakovski$ ta có

$$A^2=\left ( 2x+3y \right )^{2}=\left ( \sqrt{2}.\sqrt{2}x+\sqrt{3}.\sqrt{3}y \right )^{2}\leq 5\left ( 2x^{2}+3y^{2} \right )=25$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 

$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{y\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\2x^{2}+3y^{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y\\2x^2+3y^2=5\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=y=1\\ x=y=-1\end{bmatrix}$$

Do $A^2 \leq 25$ nên $-5 \leq A \leq 5$.

Vậy $minA=-5 \Leftrightarrow x=y=-1$ và $maxA=5 \Leftrightarrow x=y=1$

$\square$

Cho hai số dương thỏa mãn $a,b\geq 1$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}+1} $

Đặt $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}$ thì $xy\geq 1 (*) $ và BĐT được viết lại

$$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}\geq \frac{2}{xy+1} (1) $$

$$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{y^{2}+1}-\frac{1}{xy+1}\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x \left (y-x \right )}{\left ( x^2+1 \right )\left ( xy+1 \right )}-\frac{y \left (y-x \right )}{\left ( y^2+1 \right )\left ( xy+1 \right )}\geq 0$$

$\Leftrightarrow \left ( y-x \right )\left [ x\left ( y^2+1 \right )-y\left (x^2+1  \right ) \right ]\geq 0$ (vì mẫu dương) 

$\Leftrightarrow \left ( y-x \right )^{2}\left ( xy-1 \right )\geq 0$ (BĐT đúng vì có $(*)$)

Vậy BĐT cần chứng minh đã $Q.E.D$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$ hay $a=b=1$

$\square $

Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng:  

$$\frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}+\frac{b^{3}}{b^{3}+abc+c^{3}}+\frac{c^{3}}{c^{3}+abc+a^{3}} \geq 1$$

Đặt $VT = P$. Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ cho ba số không âm, ta có 

$$\frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}+\frac{a^{3}+abc+b^{3}}{9b^{3}}+\frac{1}{3} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{27b^{3}}}= \frac{a}{b} $$

Tương tự $$\frac{b^{3}}{b^{3}+abc+c^{3}}+\frac{b^{3}+abc+c^{3}}{9c^{3}}+\frac{1}{3} \geq \frac{b}{c} $$

$$\frac{c^{3}}{c^{3}+abc+a^{3}}+\frac{c^{3}+abc+a^{3}}{9a^{3}}+\frac{1}{3} \geq \frac{c}{a} $$

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên và áp dụng $Cauchy$ ta được

$$P+\frac{a^{3}+abc+b^{3}}{9b^{3}}+\frac{b^{3}+abc+c^{3}}{9c^{3}}+\frac{c^{3}+abc+a^{3}}{9a^{3}}+1 \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3 $$ hay $P + S \geq 2 (*)$ với $$S=\frac{1}{9}\left ( \frac{a^{3}}{b^{3}}+ \frac{b^{3}}{c^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3}} \right )+\frac{abc}{9}\left ( \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\right )+\frac{1}{3}$$

Mặt khác $$S\geq \frac{1}{9}\cdot 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}b^{3}c^{3}}{b^{3}c^{3}a^{3}}}+\frac{abc}{9}\cdot 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^{3}b^{3}c^{3}}}+\frac{1}{3}=1$$

Do đó $(*)\Leftrightarrow P\geq 1$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

$\square $

Ta có   $5+2\sqrt{9\sqrt{5}-19}=\sqrt{5}-2+7-\sqrt{5}+2\sqrt{\left (\sqrt{5}-2  \right )\left (7-\sqrt{5}\right )}=\left ( \sqrt{\sqrt{5}-2}+\sqrt{7-\sqrt{5}} \right )^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{5+2\sqrt{9\sqrt{5}-19}}= \sqrt{\sqrt{5}-2}+\sqrt{7-\sqrt{5}} $

$\Rightarrow \left ( \sqrt{5+2\sqrt{9\sqrt{5}-19}}-\sqrt{7-\sqrt{5}} \right ):2\sqrt{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{2}$