badboykmhd123456

Câu b áp dụng như thế nào bạn? Mấy câu trước mình còn biết chứ câu này mình không thể suy nghĩ ra hướng giải chút nào cả.

Còn câu 2/b theo mình nghĩ thì phải có điều kiện để biếu thức dưới dấu căn ở 2 vế không âm chứ nhỉ?

Câu b áp dụng theo nhiều cách 1 cách như bạn bossulan239 còn 1 cách nữa thế này

$\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}) \leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Thiết lập các bdt tương tự rồi cộng theo vế là đk

Câu 2b tất nhiên phải có DKXD r bài pt vô tỉ nào chả thế

Cho a, b, c thỏa mãn: $a^2=bc;a+b+c=abc$. Chứng minh: $a^2\geqslant 3$

bạn tham khảo tại đây

1.Cho 4 số $x,y,z,a$ thoả mãn $x+y+z+a=7$ và $x^2+y^2+z^2+a^2=13$.

Tìm miền giá trị $a$

2. Tìm $x,y$ để $C\geq -x^2+2xy-4y^2+2x+10y$ đạt GTLN, tìm giá trị đó

Làm thử câu a sai thông cảm nha

$x^2+y^2+z^2=13-a^2 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3=16-a^2$

$x+y+z=7-a \Leftrightarrow 2(x+y+z)=14-2a$

Ta luôn có $x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(x+y+z)$ với mọi $x,y,z$

$ \Rightarrow 16-a^2 \geq 14-2a \Leftrightarrow a^2-2a-2 \leq 0$ đến đây tìm đk miền giá trị của $a$

1) Tìm nghiệm nguyên x,y thõa :

$12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$

2) Cho phương trình $2x^2+2mx+m^2-2=0$

a) Xác đinh m để phương trình có 2 nghiệm

b) Gọi x₁,x₂ là 2 nghiệm của phương trình . Tìm GTLN của biểu thức: |2x₁.x₂₊x₁₊x₂-4|

4) Cho 3 số a,b,c khác 0 sao cho

$a^2=bc, a+b+c=abc$

Ch/mR:$ a^2\geq 3$

bài 1

$12x^2+2x(3y-14)+3y^2-28y=0$

$\Delta' =(3y-14)^2-12(3y^2-28y)=-27y^2+252y+196$

tới đây dùng điều kiện pt có nghiệm để chặn 2 đầu $y$ rồi xét các trường hợp

bài 2

a) $\Delta' = 4-m^2 \geq 0 \Leftrightarrow -2 \leq m \leq 2$

b) Theo Viet $x_1+x_2=-m; x_1x_2=\frac{m^2-2}{2}$

$P=\left | m^2-m-6 \right |=\left | (m-3)(m+2) \right |=(3-m)(m+2)$ do  điều kiện $-2 \leq m \leq 2$

tới đây tìm GTLN dễ r

bài 3

$bc=a^2; b+c= abc-a=a(bc-1)=a(a^2-1)$

$\Rightarrow b,c$ là 2 nghiệm của pt $ t^2-a(a^2-1)t+a^2=0$

$\Delta =a^2(a^2-1)^2-4a^2=a^2(a^2-1-2)(a^2-1+2)=a^2(a^2-3)(a^2+1)$

Do $a^2>0; a^2+1>0$ nên để tồn tại $b,c$ thì $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow a^2 \geq 3$

Ta đi chứng minh $ P \leq \frac{12}{17} $   (1)

Thật vậy 

$ (1) \Leftrightarrow \frac{3xy}{x^2+y^2}\leq \frac{12}{17} $

$ \Leftrightarrow  12x^2+12y^2-51xy \geq 0 $

$ \Leftrightarrow  12\left(y- \frac{1}{4}x^2 \right)^2 + \frac{45}{4}\left ( x-2 \right )^2 +45(x-xy-1) \geq 0 $   (luôn đúng)

Vậy $MaxP= \frac{12}{17}$ khi $x=2, y= \frac{1}{2}$

cách khác nhỉ

Nếu $xy \leq 0 $ thì $P \leq 0$

Nếu $xy >0 $ thì $P>0$

Vậy ta chỉ xét $xy >0$ khi đó từ gt dễ có $x,y >0$

Từ gt $\Rightarrow y+\frac{1}{x} \leq 1$

Mà $y+\frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{y}{x}} \Rightarrow 2 \sqrt{\frac{y}{x}}\leq 1 \Leftrightarrow \frac{y}{x}\leq\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{x}{y} \geq 4$

$P=\frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$

Có $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}= \frac{x}{16y}+\frac{y}{x}+\frac{15x}{16y}\geq \2\sqrt{\frac{xy}{16xy}}+\frac{15}{16}.4=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow P \leq \frac{12}{17}$

$\Rightarrow max P=\frac{12}{17}  \Leftrightarrow  x=2;y=\frac{1}{2}$

Oai . Mấy bài bậc 4 này dễ mà 

Việc ta cần làm là tách khéo thôi . Làm nhiều nó quen

Không thì người ta có công thức tổng quát từ mấy thế kỉ trước rồi nên cái này chỉ để học sinh rèn luyện thôi

PT bậc 4 nào cũng đưa về tích của 2 pt bậc 2 đc dựa vào các hệ số của pt bậc 4 ban đầu ( cho dù pt bậc 4 có 1 nghiệm hữu tỷ và 3 nghiệm khốn (cardano) vẫn đưa về tích 2 pt bậc 2 đc )

 

bạn đưa pt này về tích 2 pt bậc 2 thử xem $x^4+x-5=0$

Anh chứng minh hệ quả  $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2} \geqslant \frac{1}{1+xy}$

thế nào chỉ em với. tks!

biến đổi tương đương

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn

$a^2+b^2+c^2=3$

CMR:

$\frac{c}{ab(2ab+1)}+\frac{b}{ca(2ca+1)}+\frac{c}{bc(2bc+1)}\geq 1$

VT=$\frac{c^2}{abc(2ab+1)}+\frac{b^2}{abc(2ac+1)}+\frac{a^2}{abc(2bc+1)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{abc(2ab+2ac+2bc+3)}= \frac{(a+b+c)^2}{abc(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)}=\frac{1}{abc}\geq 1$

$$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=27^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{27^{2}}{a+b+c}\geq \frac{27^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=81$$

Bất đẳng thức này là hệ quả của BĐT nào bạn nhỉ có cách chứng minh khác ngoài biến đổi tương đương không

@@: không nên lạm dụng viết tắt quá nhiều bạn nhé

Tìm MIN A= $\sqrt{x^{2}+8x+20}+\sqrt{x^{2}+4x+40}$

       MAX B= $\left | \sqrt{x^{2}+8x+20}-\sqrt{x^{2}+4x+40}\right |$

 

$A=\sqrt{(x+4)^2+4}+\sqrt{(-x-2)^2+36}\geq \sqrt{(x-x+4-2)^2+(2+6)^2}=\sqrt{68}$ ( bất đẳng thức min cốp ki)

$\Rightarrow min A=\sqrt{68}\Leftrightarrow x=-3.5$

 

Câu sau dùng phương pháp toạ độ nhé

Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ lấy điểm $A(x+4;2) ; C(x+2;6)$

$\Rightarrow OA=\sqrt{(x+4)^2+4} ; OC=\sqrt{(x+2)^2+36} ; AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$

có $B=\left | OA-OC \right |\leq AC=2\sqrt{5}$

$\Rightarrow max B= 2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-5$

Cho tam giác $ABC$ có 2 đường phân giác trong và ngoài đỉnh A cắt đường thẳng $BC$ tại $D,E$ và $AD=AE$.Chứng minh $ AB^2+AC^2=4R^2$( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$)

Chứng minh nếu m,n là các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức :$3m^{2}+m=4n^{2}+n$ thì m-n;4m+4n+1 đều là các số chính phương

từ giả thiết suy ra $(m-n)(4m+4n+1)=m^2$
giả sử $(m-n,4m+4n+1)=d$
$\Rightarrow m-n\vdots d ; 4m+4n+1\vdots d$

$\Rightarrow (m-n)(4m+4n+1)\vdots d^2$
$\Rightarrow m^2\vdots d^2 \Rightarrow m\vdots d$
mà $m-n\vdots d\Rightarrow n\vdots d\Rightarrow 4m+4n\vdots d \Rightarrow 1\vdots d$
từ đó suy ra $m-n; 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau
Vậy ta có đpcm

Tìm các căp số nguyên $(x;y)$thoả mãn $3\sqrt{x}+7\sqrt{y}=\sqrt{3200}$
---
MOD:Dùng dấu "đô la" cho tiêu đề luôn nha bạn

Xét các trường hợp $x< -3$,-3$\leq x< 1$,1$\leq x< 2$,2$\leq x$
TH1:x$< -3$ thì x-3$<$0,x-2$<$0,x+3$<$0
Suy ra (x+3)(x-1)$>$0
(x-1)(x-2)$>$0
$\Rightarrow$ Trị tuyệt đối của (x+3)(x-1)=(x+3)(x-1)
Trị tuyệt đối của (x-1)(x-2)=(x-1)(x-2)

$\Rightarrow$ (x+3)(x-1)+(x-1)(x-2)=27
Giải ra là tìm được x.
Tương tự với các TH còn lại.

bạn nên dùng latex để mọi người dễ theo dõi và bài làm đẹp hơn