Sara Micky

Bài 1 Cho tam giác ABC trọng tâm G. P là điểm bất kì. A₁ thuộc BC sao cho PA₁ // GA. Lấy A₂ đối xứng P qua A₁. Tương tự có B₁, B₂, C₁, C₂. Chứng minh AA₂, BB₂, CC₂ đống quy.

Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn nội tiếp (I). E là trung điểm BC. AI cắt (O) tại F khác A. N trung điểm EF. M là trung điểm BI. MN cắt BC tại D. Chứng minh DM là phân giác ∠ADB.

Bài 3 Cho tam giác ABC trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp (O), đường cao CF. Đường thẳng qua F vuông góc với OF cắt AC tại P. Chứng minh ∠FHP= ∠CAB.

Bài 4 Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F. G đối xứng D qua trung điểm BC. P, Q thuộc DE, DF sao cho MP// IC, MQ// IB. Chứng minh P, Q, I thẳng hàng.

Bài 5 Cho tam giác ABC tâm đường tròn Euler là N. E, F thuộc CA, AB sao cho N là trung điểm EF. Chứng minh đường thẳng Euler của tam giác AEF đi qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 6 Cho tam giác ABC cân tại A. D di chuyển trên BC. BB’, CC’ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD. M là trung điểm B’C’. Chứng minh diện tích tam giác MBC luôn không đổi khi D di chuyển.

Bài 1 Cho tam giác ABC. L là điểm thuộc đoạn BC. M thuộc tia đối tia BA sao cho ∠ALC=2∠AMC. N thuộc tia đối tia CA sao cho ∠ALB=2∠ANB. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh OL vuông góc với BC.

Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D. AI cắt (O) tại E khác A. AF là đường kính của (O). ED cắt (O) tại L khác E. Gọi LO giao AD tại X, DF giao OE tại Y. Chứng minh X, Y, I thẳng hàng.

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), P là một điểm trên (O). A₁, B₁, C₁ là trung điểm BC, CA, AB. PA₁, PB₁, P₁C cắt (O) tại A₂, B₂,C₂ khác P. Chứng minh rằng các đường thẳng AA₂, BB₂, CC₂ cắt nhau tạo thành một tam giác có diện tích không đổi khi P di chuyển trên (O).

Bài 4 Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F.(K) là đường tròn thay đổi đi qua B, C sao cho EF cắt (K) tại P, Q. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DPQ luôn đi qua điểm cố định khác D.

Bài 5 Cho hai đường tròn (O₁), (O₂) tiếp xúc ngoài nhau tại M. A là điểm thuộc (O₂). AB, AC là tiếp tuyến của (O₁). MB, MC cắt (O₂) tại D, E khác M. Chứng minh DE đi qua trung điểm AB, AC.

Bài 1 Cho P là điểm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng P cắt (O) tại A,B sao cho B nằm giữa A,P. PC là một tiếp tuyến của (O). CD là đường kính của (O). DB cắt OP tại E. CE cắt (O) tại F khác C. Giả sử F là trung điểm CE. Chứng minh rằng tam giác CED cân

Bài 2 Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngaoì tam giác ABC các tam giác BAD và CAE sao cho các góc ∠DAB, ∠EAC không đổi và ∠DBA   + ∠EAC = 180∘. Chứng minh rằng DE luôn đi qua điểm cố định

Bài 3 Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp I tiếp xúc BC,CA,AB tại D, E, F. FG, EH là đường kính của (I). DG, DH cắt EF tại P, Q. DI cắt EF tại R. Chứng minh rằng RE.RP = RF.RQ

Bài 4 Cho tam giác ABC đường tròn (K) tiếp xúc CA, AB, tại E, F. EF cắt trung tuyến AM của tam giác ABC tại N. Chứng minh KN vuông góc với BC

bài 5 Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc đoạn BC. O₁, O₂ là tâm đường tròn ngoaị tiếp tam giác ABD, ACD. O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO₁O₂. Chứng minh O'D vuông góc với BC khi chỉ khi AD đi qua tâm đường tròn 9 điểm Euler của tam giác ABC

bài 6 Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF. Gọi Ha, Hb, Hc là trực tâm tam giác AEF, BFD, CDE.

a)      Chứng minh rằng  DHa, BHb, CHc đồng quy

b)      Gọi Oa, Ia là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác AEF. Tương tự có Ob,Oc.Ib,Ic. Chứng minh rằng OaIa, ObIb, OcIc đồng quy

 Bài 7 Cho tam giác ABC trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D, E, F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GBC, GCA, GAB. Chứng minh O là trọng tâm tam giác DEF

1)cho tam giác ABC  phân giác AD . M là trung điểm AD. Đường tròn đường kính AB cắt đoạn MC tại E. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn MB tại F. Chứng minh rằng DE.AF=DF.AE

2)Cho tam giác ABC (AB< AC), đường cao BE, CF, trung tuyến AM. Đường thẳng qua A vuông góc AM cắt EF tại K. MK cắt AC tại L. BL cắt đường thẳng qua M sông song  AK tại N . Chứng minh rằng AN//BC

3)Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm sao cho CD vuông góc với BC. M là trung điểm BC. DM cắt AB tại E. F thuộc AD sao cho BF//CE. Chứng minh rằng $BF\perp CF$

 4) Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I)  tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. EF cắt BC tại G. AM trung tuyến tam giác ABC cắt đường tròn (O) ngoại tiếp ABC tại N khác A. P là hình chiếu của I lên AM. C/M : $\vartriangle IDP \sim \vartriangle MNG$