phamduytien

1.Cho a,b,c>0 thoả mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$.

Chứng minh: $\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}}\geq \sqrt{3}$

(Ba Lan, 2010)

2.Cho a,b,c > thoả mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

(Peru, 2007)

1.Cho a,b,c>0 thoả mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$.

Chứng minh: $\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}}\geq \sqrt{3}$

(Ba Lan, 2010)

2.Cho a,b,c > thoả mãn $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

(Peru, 2007)

Cho nửa đường tròn tâm O bán kinh 1đv.3 điểm A,B,C thuộc nửa đường tròn.Chứng minh:$\left | \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right |>1$

1.Cho x,y,z là các số dương thoả mãn $xyz=1$

Chứng minh: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1$

2.Cho $0<a\leq b\leq c$ thoả mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh: $ab^{2}c^{3}\geq 1$

Cho a, b, c > 0; $abc = 1$

Chứng minh: $\frac{a^{4}b}{a^{2}+1}+\frac{b^{4}c}{b^{2}+1}+\frac{c^{4}a}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$