The Collection

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn: \[ P(x^2+1)=(P(x))^2+1 \]

Tồn tại hay không hàm $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ thỏa: \[ f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n, f(n)<f(n+1), \forall n \in \mathbb{N} \]

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ thỏa: \[ f(1)=2, f(2)=1,  f(f(m)+f(n))=f(f(m)) + f(n) \]

Cho tam giác $ABC$. Định nghĩa đường tròn $(O_a)$  là đường tròn tiếp xúc với $AB,AC$ và $(ABC)$. $(O_a)$ tiếp xúc $(ABC)$ tại $X$, định nghĩa tương tự cho $Y,Z$. Gọi $I$ là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$, $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $A_1$, $AI$ cắt $BC$ tại $N_1$. Chứng minh rằng $A_1,N_1,Y,Z$ đồng viên.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. $D$ là trung điểm $AC$. Đường phân giác $\angle BAD$ cắt (DBC) tại $E$ nằm trong tam giác $ABC$. $BD$ cẮt $(AEB)$ tại $F$ khác $B$. $AF,BE$ cắt nhau tại $I$, $CI,BD$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng $I$ là tâm nội tiếp $\Delta KAB$.