The Collection

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn: \[ P(x^2+1)=(P(x))^2+1 \]

 

Em nghĩ cũng nên lập ra một topic về việc tham gia sáng tác các bài toán nhân kỉ niệm $10$ năm DĐTH. Cá nhân hoặc tập thể nào có đề bài và lời giải hay thì cũng sẽ có thể xem xét để trao giải (nên giới hạn 10 bài toán cho mỗi tác giả, đi kèm lời giải và các thông tin như:  tự sáng tác hay cải biên từ bài toán đã có,...  ).

 

Hơn nữa thì em cũng có một góp ý nho nhỏ thế này: Có nhiều thành viên đã có nhiều bài viết hay, tích cực mang tính xây dựng cho diễn đàn, là thành viên của diễn đàn trong một thời gian dài có thể họ không tham gia cuộc thi Viết bài kỉ niệm 10 năm Diễn đàn toán học nhưng vẫn có thể xét tặng để trao giải ( như một sự biết ơn cho các đóng góp của họ VD: thầy hxthanh Trần Quốc Nhật Hân (perfectstrong ) Nguyễn Tạ Nguyên (nguyenta98),  ect.... ) 

 

Ở mỗi mục trao giải nên có những tiêu chí cụ thể để tiện cho việc đánh giá khách quan, công bằng !  

 

 

 

nguyenta98 là Tạ Hà Nguyên ạ

Bài 48: Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $O$, $S$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $E,F$ lần lượt là trung điểm $AC,AB$. $L$ là giao điểm của $AS$ và $CF$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ trên $EF$ thì: \[OM\perp CF\Leftrightarrow \frac{SB}{SC}=2\frac{ME}{MF}\Leftrightarrow \frac{LF}{LC}=\frac{ME}{MF}\]

http://www.artofprob...ic.php?t=107793

(Chưa giải nên không biết có hay không, mọi người thử đi nhé!)

Bài này của Bulgarie, cũng khá hay

Cho hàm $f:N^* \to N^*$ thỏa mãn:

(1) $f(1)=1$

(2) $f(n)=n-f(f(n-1))\forall n \ge 2$

Chứng minh rằng: $f(n+f(n))=n\forall n \in N^*$

Giải như sau:

Đầu tiên chứng minh: \[f(n) \le f(n+1) \le f(n)+1 \forall n \in \mathbb{N}^* (1)\]

Kiểm tra thấy $n=1$ thì $(1)$ đúng.

Giả sử $(1)$ đúng đến $n=k$.

Dễ thấy với mọi $m,n \le k+1$, nếu $m \le n$ thì $f(m) \le f(n)$. (Chứng minh bằng quy nạp)

Và $f(n) \le f(n-m)+m$.

Và từ đẳng thức bài toán ta có $f(k) \le k$, và $f(f(n))=n+1-f(n+1), \forall n \ge 1$.

Theo giả thiết quy nạp ta có: 

• $f(k) \le f(k+1) \le k+1 \to f(f(k)) \le f(f(k+1)) \to k+1 - f(k+1) \le k+2-f(k+2) \to f(k+1)+1 \ge f(k+2).$
• 
  
• $k+1 \ge f(k)+1 \ge f(k+1) \to f(f(k)+1) \ge f(f(k+1)) \to f(f(k)) + 1 \ge f(f(k+1)) \to k+1-f(k+1) +1 \ge k+2-f(k+2) \to f(k+1) \le f(k+2)$ 
• 
  

Do đó theo nguyên lý quy nạp $(1)$ đúng với mọi $n$. Đến đây dễ quy nạp bài toán như sau:
 

Gỉa sử bài toán đúng tới $n=k$, tức là $f(k+f(k))=k$, ta có: 

$f(f(k+f(k))=f(k) \to k+f(k)+1-f(k+f(k)+1)=f(k) \to f(k+f(k)+1)=k+1 (2)$

Mặt khác từ nhận xét trên ta suy ra: $f(k)=f(k+1)$ hoặc $f(k+1)=f(k)+1$.

Nếu $f(k+1)=f(k)$ thì từ $(2)$ có $f(k+1+f(k+1))=k+1$.

Nếu $f(k+1)=f(k)+1$ thì: $f(k+1+f(k+1))=k+1+f(k+1)-f(f(k+1+f(k))=k+1$.

Theo nguyên lý quy nạp có đpcm.

Tồn tại hay không hàm $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ thỏa: \[ f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n, f(n)<f(n+1), \forall n \in \mathbb{N} \]

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ thỏa: \[ f(1)=2, f(2)=1,  f(f(m)+f(n))=f(f(m)) + f(n) \]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN cắt CD tại P. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt AB tại Q. CMR: AC,BD,PQ đồng qui

Giải:

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Từ các tứ giác nội tiếp ta có: \[\overline {IQ} .\overline {IM}  = \overline {ID} .\overline {IC}  = \overline {IA.IB} \]

Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên từ hệ thức trên suy ra $(IQAB)=-1$.

Tương tự $(IPCD)=-1)$, nên $AC,BD,PQ$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC$. Định nghĩa đường tròn $(O_a)$  là đường tròn tiếp xúc với $AB,AC$ và $(ABC)$. $(O_a)$ tiếp xúc $(ABC)$ tại $X$, định nghĩa tương tự cho $Y,Z$. Gọi $I$ là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$, $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $A_1$, $AI$ cắt $BC$ tại $N_1$. Chứng minh rằng $A_1,N_1,Y,Z$ đồng viên.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. $D$ là trung điểm $AC$. Đường phân giác $\angle BAD$ cắt (DBC) tại $E$ nằm trong tam giác $ABC$. $BD$ cẮt $(AEB)$ tại $F$ khác $B$. $AF,BE$ cắt nhau tại $I$, $CI,BD$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng $I$ là tâm nội tiếp $\Delta KAB$.

Cho $a,b$ là $2$ số không âm có tổng bằng $1$. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: \[ f(ax+by)=af(x)+bf(y) , \forall x,y \in \mathbb{R} \]

Cho số tự nhiên $n \ge 2$. Tìm số các hoán vị $(a_1,a_2,..,a_n)$ của $(1,2,..,n)$ sao cho tồn tại duy nhất chỉ số $i \in {1,2,...,n-1}$ thỏa $a_i > a_{i+1}$

Cho tam giác $ABC$. $P$ là $1$ điểm di chuyển trên cạnh $BC$. Lấy $E$ trên $(ABP)$ và $F$ trên $(ACP)$ sao cho $PE$ vuông góc $AB$, $PF$ vuông góc $AC$. Chứng minh rằng $AEF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển.

Cho $N$ là điểm $Negel$ của tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$. Chứng minh: $ON=R-2r$.

Cho $p=4k+1$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại $x$ nguyên sao cho $x^2+1 \vdots p$.

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn $O$. $O$ tiếp xúc với $AB,BC,CD,DA$ tại $X,Y,Z,T$. Chứng minh rằng $AC,BD, XZ, YT$ đồng quy. (không dùng Brianchon suy biến)