A4 Productions

Chuyên SP...

Tính tổng S = $C_{2014}^{1} - C_{2014}^{3} + C_{2014}^{5} - ... + C_{2014}^{2013}$

Xét khai triển:

${\left( {1 + x} \right)^{2014}} = C_{2014}^0 + C_{2014}^1x + C_{2014}^2{x^2} + ... + C_{2014}^{2014}{x^{2014}}$.

${\left( {1 - x} \right)^{2014}} = C_{2014}^0 - C_{2014}^1x + C_{2014}^2{x^2} - ... + C_{2014}^{2014}{x^{2014}}$.

$ \Rightarrow {\left( {1 + x} \right)^{2014}} - {\left( {1 - x} \right)^{2014}} = 2\left( {C_{2014}^1x + C_{2014}^3{x^3} + ... + C_{2014}^{2013}{x^{2013}}} \right)$.

$ \Rightarrow C_{2014}^1x + C_{2014}^3{x^3} + ... + C_{2014}^{2013}{x^{2013}} = \frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{2014}} - {{\left( {1 - x} \right)}^{2014}}}}{2}$

Chọn $x=1$. $ \Rightarrow C_{2014}^1 + C_{2014}^3 + ... + C_{2014}^{2013} = \frac{{{2^{2014}}}}{2} = {2^{2013}} = S$

$$x + \sqrt {{x^2} - 3x + 9}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 10}  + 1$$

$$ \Leftrightarrow x - 3 + \sqrt {{x^2} - 3x + 9}  - 3 = \sqrt {{x^2} + 2x + 10}  - 5$$

$$ \Leftrightarrow x - 3 + \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 3x + 9}  - 3}} + \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{5 + \sqrt {{x^2} + 2x + 10} }} = 0$$

$$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 3x + 9}  - 3}} + \frac{{x + 5}}{{5 + \sqrt {{x^2} + 2x + 10} }}} \right) = 0$$

$$ \Rightarrow x = 3$$

(biểu thức trong ngoặc luôn dương)

4b xét 2 TH trong ttđ giải được 2 nghiệm

4c+d. Đặt căn = $t$. biến đổi vế còn lại theo $t$

4a. ĐK $x \ne 0$

Đặt $x + \frac{1}{x} = t \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2$ ĐK $\left| t \right| \geqslant 2$

PT $ \Rightarrow {t^2} - 1 + 2\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0 \Rightarrow t =  - 1$ (không thỏa)

Vậy pt trên vô nghiệm