asdfghjk

Thiếu rồi, cả th đó lẫn th m>2 nữa

ừ, post thiếu.

 

Ta có $T=\frac{x+z}{2x-z}+\frac{y+z}{2y-z}=1+\frac{2z-x}{2x-z}+1+\frac{2z-y}{2y-z}=2+\frac{2z-x}{2x-z}+\frac{2z-y}{2y-z}$

Dự đoán $T_{min}=4\Leftrightarrow x=y=z>0$ nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{2z-x}{2x-z}+\frac{2z-y}{2y-z}\geqslant 2$

Quy đồng và rút gọn ta được $\Leftrightarrow 9z(x+y)-6z^2-12xy\geqslant 0$   (*)

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z}\Rightarrow z(x+y)=2xy$

Do đó (*) trở thành $9z(x+y)-6z^2-6z(x+y)\geqslant 0\Leftrightarrow x+y-2z\geqslant 0$

Lại áp dụng AM-GM ta có $\frac{2}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant \frac{4}{x+y}\Rightarrowü+y\geqslant 2z$

Do đó ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

 

Câu này mình làm cách khác!

 

Từ giả thiết ta có:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z} \Rightarrow \frac{2x-z}{xz}=\frac{1}{y}$

$\Rightarrow 2x-z=\frac{xz}{y}$

tương tự cũng có: $2y-z=\frac{yz}{x}$

Thay vào T, ta có:

 

$T=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}$

$\Rightarrow T\geq 2+\frac{x+y}{z}$

Mạt khác, ta có

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}$

hay: 

$\frac{2}{z}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow \frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}$

$\Rightarrow T\geq 4$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

Giải pt nghiệm nguyên:

 

$x^{2}-xy+y^{2}=2x-3y-2$