hochoidr

Cho a,b,c là các số thực dương và thoã mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm GTNN của biểu thức

P=$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}$.

$\sum \frac{a}{1+b^2}\geq \sum \frac{a}{2b}= \sum \frac{a^2}{2ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$

Ta có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$
Nên $P\geq \frac{3(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Tuyệt vời, em cám ơn rất nhiều.

Phương trình trên tương đương với
$VT \leq \sqrt{2.2}= 2$

Mình chưa hiểu rõ đoạn này lắm, bạn chỉ mình với.