NMDuc98

Câu 1 là $y_n=\frac{a^n}{x_1x_2...x_n}$ nhé bạn!

Chứng minh rằng nếu $1+2^n+4^n$ ( với $n \in \mathbb{N}$ ) là số nguyên tố thì $n=3^k$ với $k \in \mathbb{N}$.

 

PS: Cần một lời giải mới!

Cho $(O)$ là một đường tròn cố định và $A,B$ là hai điểm cố định trên $(O)$ sao cho $A,B,O$ không thẳng hàng. Điểm $C$ di động trên $(O)$ ( $C$ khác $A,B$). Gọi $(O_1), (O_2)$ lần lượt qua $A,B$ và lần lượt tiếp xúc với $BC,AC$ tại $C$. $(O_1)$ cắt $(O_2)$ tại $D~~(D \ne C)$. Đường thẳng $AD$ và $BD$ cắt $(O_2)$ , $(O_1)$ tại $E$ và $F$  $(E,F \ne D)$. Chứng minh đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $EF$ luôn đi qua một đường thẳng cố định. 

 Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$ và $OCD$ cắt nhau tại $X$ và $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD$ và $OBC$ cắt nhau tại $Y$ và $O$. Các đường tròn đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Z$ và $T$. Chứng minh rằng nếu $AC \neq BD$ thì bốn điểm $X,Y,Z,T$ cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi  $a,b,c$ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $10$. Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ thỏa mãn $|f(2+\sqrt{3})|<0,0001$.Hỏi $2+\sqrt{3}$có thể là nghiệm của $f$ được không ?

Một câu hỏi cho các bạn đó.Mau mau đóng góp í kiến nha

Chào bạn, mình là học sinh không chuyên và hiện tại mình đang ôn tập để thi dự tuyển.

Thật sự, một học sinh không chuyên sẽ gặp nhiều áp lực về kiến thức chuyên, học nhiều hơn và cơ hội là rất hiếm, hiếm chứ phải không có!

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh: $\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

Lời giải: 

Thay $a+b+c=1$ vào ta có:

$VT=\sum \frac{1}{4c^2+ab+2ac+2bc}=\sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$

$=\sum \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2(2c+b)(2c+a)}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum (a+b)^2(2c+b)(2c+a)}$

Cần chứng minh: $4(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\geq \sum (a+b)^2(2c+a)(2c+b)$

$<=>\sum (a^3b+ab^3)\geq 2\sum a^2b^2$ (Sử dụng AM-GM)

P/s: Ai có cách ngắn hơn cho em xin ạ

Ta có:

$$(ab+bc+ca)^2=(ab)^2+[(bc)^2+(ca)^2]+2abc(a+b+c) \ge (ab)^2+2abc^2+2abc=ab(ab+2c^2+2c)$$

Suy ra:

$$\frac{1}{ab+2c^2+2c} \ge \frac{ab}{(ab+bc+ca)^2}$$

Trong tài liệu LTE của Phạm Quang Toàn có viết như hình dưới, thắc mắc của mình là $a|b \Leftrightarrow v_p(b) \ge v_p(a)$ có đúng không? Mong được giải đáp, không biết mình có hiểu sai gì về định nghĩa không?
Ví dụ: Xét hai số $A=2.5$ và $B=3.5$ rõ ràng $v_5(B) = v_5(A)$ nhưng $A$ không phải ước của $B$.

Theo ý kiến mình thì: $$a|b \Rightarrow v_p(b) \ge v_p(a)$$

Bài viết của Phạm Quang Toàn như sau:

$x,y,z \in \mathbb{R^+}$ thỏa $x \geq y \geq z$ và $x+y+z=3$

Tìm

$Min$ $P=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y$

Vì $x \ge y \ge z>0$ và $x+y+z=3$, nên: 

$$P \ge \frac{x}{y}+\frac{z}{y}+3y=\frac{x+z}{y}+3y=\frac{3-y}{y}+3y=\frac{3}{y}+3y-1 \ge 6-1=5$$

Dấu $=$ khi $x=y=z=1$.

Vào đây cũng thây thích thích đấy chứ...đang địn uot thì gặp phải cái này.... 
Ai thế...

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,n)$ sao cho đa thức $x^n+2^n+1$ là ước của đa thức $x^{n+1}+2^{n+1}+1$.

Tìm tất cả mọi số thực $n$ sao cho bất đẳng thức :

$\sum \frac{1}{a^{n}(b+c)} \geq \frac{3}{2}$

đúng với bộ $3$ số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$

Hướng Giải:

Trường hợp 1: Xét $n \ge 2$:

Giả sử $a \le b \le c$. Đặt: $a=\frac{1}{x},~b=\frac{1}{y},~c=\frac{1}{z}$. Khi đó $x,y,z>0$ thỏa $xyz=1$.

Khi đó BĐT đã cho trở thành:

$$\sum \frac{x^{n-1}}{y+z}\ge \frac{3}{2}~~~(1)$$

Với giả sử trên dễ thấy $(1)$ đúng theo BĐT Trê-bư-sép, AM-GM và Nesbit.

Vậy $n \ge 2$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét $n \le -1$. Đặt $m=1-n \ge 2$.

Dựa vào Trường hợp 1. Thay $n$ bởi $m$ (các biến đang là $x,y,z$) và biến đổi tương đương về các biến $a,b,c$ sẽ được BĐT đã cho.

Vậy $n \le -1$ cũng thỏa mãn.

Trường hơp 3: Xét các dãy số $(a_t)=t,~(b_t)=t$ và $(c_t)=\frac{1}{t^2}$ với $t \in \mathbb{N}^*$.

Khi đó với: $$S_t=\sum \frac{1}{a_t^n(b_t+c_t)}=\frac{2t^{2-n}}{t^3+1}+\frac{t^{2n-1}}{2}$$ 

*) Xét $-1 < n \le \frac{1}{2}$: $\lim_{t\rightarrow \propto}S_t=0$. Suy ra với $-1 < n <\frac{1}{2}$ không thỏa mãn.

Trường hợp 4: Xét các dãy số $(a_t)=\frac{1}{t} ,~(b_t)=\frac{1}{t}$ và $(c_t)=t^2$ với $t \in \mathbb{N}^*$.

Xét $\frac{1}{2}<n<2$ tương tự TH3 thì trường hợp này cũng không thỏa.

Kết luận

 

                                                    b, $G=sin\frac{\pi }{5}  (G=sin36^{o})$

Đặt $t=\sin \frac{\pi}{10}>0$.

Dễ thấy $t \ne 1$.

Khi đó ta có:

$$\cos \frac{\pi}{5}=\sin \frac{3\pi}{10}\\ \Leftrightarrow 1-2\sin^2 \frac{\pi}{10}=3\sin \frac{\pi}{10}-4\sin^3\frac{\pi}{10}\\ \Leftrightarrow (t-1)(4t^2+2t-1)=0\Rightarrow t=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$

Từ đây suy ra: $\sin \frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$.

Áp dụng $\sin^2 a+\cos^2 a=1$ và $\cos  \frac{\pi}{10}>0$ suy ra: $\cos \frac{\pi}{10}=\frac{ \sqrt{10+2\sqrt{5}} }{4} $.

Vì $\sin \frac{\pi}{5}=2.\sin \frac{\pi}{10}\cos  \frac{\pi}{10}$ nên:

$$\sin \frac{\pi}{5}=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}$$

mình chưa hiểu khúc này sao lại lấy $k=2$ vậy bạn

Từ $17\vdots d\Rightarrow \left[\begin{matrix}d=1 \\ d=17 \end{matrix}\right.$

Với $d=1$ luôn thỏa mãn.

Với $d=17$ xét $k=2$ kg thỏa nên loại!

Ở đây lấy $k=a$ bất kì làm sao để loại $d=17$ là được! Không nhất thiết phải $k=2$.