Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho biểu thức:
$P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$ là một số nguyên.
Mình chỉ xét trường hợp $3$ số $a,b,c$ đôi một khác nhau thôi nhé!
$P=abc-a-b-c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\rightarrow P\in \mathbb{Z}\Rightarrow A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\in \mathbb{Z}$
Dễ có $A> 0\Rightarrow A< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Giả sử $1\leq a< b< c\rightarrow A< 2\Rightarrow A=1 $
$\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>1$
- Với $a\geq 3\rightarrow b,c>3\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<1\rightarrow$ loại
- với $a=1 \rightarrow A>1\rightarrow$ loại
- Với $a=2 \Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2bc}=1\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2bc}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{2}$
+ Nếu $b\geq 4\rightarrow$ loại
$\Rightarrow b=3 (b> a\geq 2)\rightarrow c=5$